3E. 
[302 
302] 
CONSIDERATIONS GENERALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
11 
ainsi le cône 
u second ordre 
>ite double, soit 
èce de courbe 
ce sommet est 
donne que les 
l’un ou l’autre 
;es doubles. Il 
peut être une 
es. Ou encore, 
une droite de 
s droites. Il y 
pTil n’y a que 
faces du second 
énérale ; 2° les 
ction sera une 
ulier, la courbe 
du quatrième 
e l’on n’obtient 
o-qucirtique. Je 
ous-espèces tant 
le cône U = 0 
l ou p = 3, on 
évident par les 
droites doubles 
3s circonstances, 
(mais non pas 
ment). Mais il 
Ire, l’on aurait 
e, et l’ordre du 
courbe. Peut- 
rdre. 
S = 0, T = 0 donnent lieu à un assez grand nombre d’équations de la forme w = q 
(en représentant deux quelconques de ces équations par 
P P' 
w ~ Q ’ W ~Q' ! 
on aura toujours PQ’ — P'Q = Mil), c’est-à-dire on obtient par une telle élimination 
plusieurs surfaces monoïdes dont chacune coupe le cône II = UV = 0, selon la courbe 
d’intersection complète de deux surfaces S = 0, T= 0. Mais il ne s’ensuit pas (même 
en admettant que l’on ait de cette manière toutes les surfaces monoïdes qui passent 
par l’intersection complète), que l’on ait toutes les surfaces monoïdes qui passent par 
la courbe du m lhne ordre ; en effet il peut y avoir des fonctions P', Q' lesquelles, sans 
P' 
donner PQ' — P'Q = MUV, donnent cependant PQ' — P'Q = MU, et, cela étant, w= - f ÿ 
Q 
serait une surface monoïde qui passerait par la courbe du m ième ordre. 
P.S. On déduit sans peine la théorie des courbes situées sur une surface du second 
ordre (voir ma Note “ On the curves situate on a surface of the second order,” Pkil. 
Mcig., July 1861, [314], et les savantes recherches que M. Chasles vient de publier dans 
les Comptes Rendus). En effet, en supposant que la monoïde soit une surface du second 
ordre (hyperboloïde) et que son équation soit w = - , alors, puisque le cône U = 0, du 
Z 
m ieme ordre, doit rencontrer le plan z = 0 selon les seules droites x = 0, y = 0, il faut 
que ces droites soient des droites multiples du cône U = 0, et en prenant p, q des 
nombres tels que p + q = m, on peut supposer que les deux droites soient des droites 
multiples des ordres p et q respectivement ; et cela arrivera si U (fonction homogène 
du m n ‘ me ordre en x, y, z) contient ccP pour la plus haute puissance de x, et y q pour 
la plus haute puissance de y. Car en arrangeant selon les puissances descendantes de 
y, on aura 
U = y q {x, z) v + y q ~ x z{x, z) p + ..., 
ce qui fait voir que x = 0, z = 0 sera une droite multiple du p ième ordre, et de même 
y — 0, z—Q sera une droite multiple du q’ ème ordre. On a donc selon la notation de 
M. Chasles 
U— M (x p , y q ), 
en se souvenant qu’ici U contient aussi la coordonnée z. 
r = 0 sont des 
éliminant entre 
is il y a plus : 
3 les équations 
Suite.—Courbes du quatrième ordre. 
Toute surface du second ordre est une surface monoïde, et on peut prendre pour 
sommet un point quelconque de la surface. En effet, en considérant un point quel 
conque de la surface du second ordre, soient 
x = 0, y = 0, z = 0, 
2—2