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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE.
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les équations de trois plans quelconques qui passent par ce point ; l’équation de la
surface sera satisfaite en y écrivant
droites d’
les six d:
55
II
©
II
©
II
©
tiquement
donc cette équation ne contiendra pas de terme en w 2 , et elle sera ainsi de la forme
P', Q' éta
P
wQ — P = 0 ou w — jt ,
Y
respectivei
P et Q étant des fonctions homogènes en x, y, z, du second ordre et du premier
ordre respectivement ; c’est-à-dire, la surface sera monoïde, ou, si l’on veut, monoïde
quadrique.
P
on a y, ~
courbe ser
Or, par une courbe du quatrième ordre (ou courbe quartique) quelconque en espace,
on peut faire passer une surface du second ordre, ou monoïde quadrique. Selon la
théorie générale, la surface monoïde est tout au plus du troisième ordre, ou monoïde
cubique ; j’avais tort de supposer que pour la courbe excubo-quartique la surface
monoïde fût nécessairement une monoïde cubique. Il arrive comme suit, savoir : pour
la courbe quadriquadrique, en prenant pour sommet un point quelconque de l’espace
(on suppose toujours que le sommet de la monoïde n’est pas situé sur la courbe), on
aura une monoïde quadrique ; mais pour la courbe excubo-quartique, pour que la monoïde
soit quadrique, il faut que le sommet soit situé sur la surface du second ordre (il n’y
a qu’une seule surface) qui passe par la courbe ; cela étant, la monoïde quadrique sera
cette surface même du second ordre. Mais en prenant pour sommet un point quel
conque qui n’est point situé sur la surface du second ordre, la monoïde sera néces
sairement une surface cubique.
Reste
ayant le i
été exami
surface of
a, en effe
comptent
quinze dre
passe par
peut nomr
les droites
12, 13, 14
pour les a
Ainsi, pour les courbes quartiques, il suffit de considérer ces courbes comme situées
sur une monoïde quadrique; il est cependant assez intéressant de les considérer comme
P
situées sur une monoïde cubique. Je suppose donc U=0, w=q, où U—0 est un
p
cône quartique et w=-~ une mon °ïde cubique avec le même point # = 0, y= 0, z — 0
pour sommet.
Cela
que les di
située sur
. ne se cou]
de la moi
est une c
sommet ur
Selon la théorie générale, les huit droites Q = 0, U = 0 doivent être comprises
parmi les six droites Q = 0, P = 0. Or, pour cela, il faut que le cône U — 0 ait des
droites multiples; il y a trois cas à considérer: 1° Le cône passe par les six droites,
et une de ces droites est une droite triple du cône ; il y aura, comme cela doit être,
monoïde qi
Donc,
quatrième
3+l+l+l+l+l=8
J’étab
droites d’intersection de Q = 0, U = 0. 2° Le cône passe par les six droites ; deux de
ces droites étant des droites doubles, il y aura
droites 12
2+2+1+1+1+1=8
forme w +
droites d’intersection. 3° Le cône passe par cinq des six droites ; trois de ces cinq
droites étant des droites doubles, il y aura
2+2+2+l+l=8
ou en chai
