CE.
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302] CONSIDÉRAI’IONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE.
- 1. Mais pour
t besoin d’une
nullement une
i (dont je n’ai
que par 6 — 2.
par 3* et la
îtiques, il y a
p. D. A.
0
4
6
6
5
points doubles
îrves of double
it au fond celle
qui n’existent
, F. 9 (p. 42,
B, F. 9, F. 10,
ît expliquer la
ersection d’une
partielle d’une
ule droite. En
prendre pour
urface cubique
Au lieu des
ce qui fait voir qu’il passe par la courbe cette nouvelle surface cubique,
z F — w U = 0,
laquelle a en commun avec la première surface cubique la courbe quadriquadrique
U= 0, F = 0.
La courbe a 4 points doubles apparents; elle peut donc avoir 0, 1 ou 2 points
doubles pu de rebroussement ; cela donne les sous-espèces
F. 1, F. 2, F. 3, F. 4, F. 5, F. 6,
de M. Salinoli.
Je remarque en passant qu’en supposant que la surface cubique xV — yU=0 a en
commun avec la surface quadrique æw — yz = 0, non-seulement la droite x = 0, y — 0,
mais aussi une autre génératrice du même mode de génération, on aura, au lieu de
la courbe quintique 6 — 1, cette nouvelle droite, et une courbe excubo-quartique. C’est
là le théorème qui donne une des constructions que M. Chasles a trouvées pour la
courbe excubo-quartique.
J’ajoute que la courbe considérée comme courbe située sur une surface quadrique
sera de l’espèce (3, 2), ou, selon la notation de M. Chasles, M (x?y-). On connaît ainsi
un grand nombre des propriétés de cette courbe, et aussi de la courbe d’espèce 8 — 3
dont nous allons parler, laquelle, considérée comme courbe située sur une surface
quadrique, est de l’espèce (4, 1) ou M (a^y).
Courbe quadriquartique, ou espèce 8 — 3.—Une telle courbe est l’intersection partielle
d’une surface quadrique et d’une surface quartique qui ont en commun trois droites
qui ne se rencontrent pas : autrement dit, ces droites seront des génératrices du même
mode de génération de la surface quadrique (O-
Soit xiv — y z = 0 lequation de la surface quadrique ; on peut prendre pour les trois
génératrices
{x — Xy = 0, Xw — z — 0),
(x — py — 0, piv — £ = 0),
(x — vy = 0, vw — z = 0) ;
et cela étant, l’équation de la surface quartique sera
(a, ...)(x — Xy, Xw — z) (x — py, pw — z) (x — vy, vw — z) = 0,
en représentant de cette manière une fonction linéaire par rapport à x — Xy et Xw — z,
par rapport à x — py et piv — z, et par rapport à x — vy et vw — z, les coefficients a,...
étant des fonctions linéaires quelcontpies de x, y, z, w.
La courbe à 6 points doubles apparents ; il n’y a donc pas d’autre singularité :
c’est l’espèce analogue à
F. 10
de M. Salmon.
1 Dans le symbole 8-B on remarquera que 3 dénote non pas la cubique gauche, mais les trois droites;
8 -1 -1 -1 serait trop long, et je me suis servi exprès de la notation moins complète ; et ainsi il est néces
saire en pareil cas d’expliquer la notation.
G. Y.
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