îce. [302 
302] CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 19 
rtielle de deux 
une droite qui 
3S coordonnées ; 
dit, a = 0, /3 = 0, 
te P — 0, Q = 0). 
la droite p — 0, 
= 0. Il y aura 
itre singularité : 
ec une certaine 
be excubo-quar- 
/3', y étant à 
3 sextique sera 
îs deux surfaces 
Or, en prenant a, /3, y, cl, /3', y des fonctions linéaires de P et Q, nous avons, en 
effet, réduit la courbe sextique à la droite P = 0, Q — 0 et à la courbe quintique 6 — 3 — 1. 
Courbe cubicubique, espèce 9 — 6 + 2.—Cette courbe est l’intersection partielle de deux 
surfaces cubiques qui ont en commun une courbe excubo-quartique. En supposant que 
cette courbe excubo-quartique soit l’intersection partielle d’une surface quadrique et 
d’une surface cubique qui ont en commun les deux droites (x = 0, y = 0) et (z = 0, w = 0), 
on peut prendre pour équation de ces deux surfaces 
U = xw — y z = 0, 
a, b 1 
y= 7 ; («, y) (z, w) = 0, 
1 c, a 
en représentant de cette manière la fonction axz + byz + cxw + dyw, linéaire par rapport 
à x, y et par rapport à z t w, avec des coefficients a, b, c, d, lesquels sont des fonctions 
linéaires quelconques de x, y, z, w. 
En écrivant d’abord 
on obtient 
V = (ux -1- by) z + (ex + dy) w, 
U = — y z+ x w, 
xV — (ex + dy) U = z [«æ 2 + (b + c) xy + dy 2 ]. 
Et de même en écrivant 
V = (az + cw) x + (bz + dw) y, 
on obtient 
U = w x— z y, 
zV + (bz + dw) U = x [az- + (b + c) zw + dw-]. 
Or le premier de ces résultats fait voir qu’en supposant U — 0, V = 0, on obtient 
ax- + (b + c)xy+ dy- = 0, et le second, qu’en supposant U=(), V — 0, on obtient de même 
az-+(b+ c)zw + div-=Q. Les surfaces U = 0, V = 0 se coupent selon la courbe excubo-quar 
tique et les droites (x = 0, y = 0) et (z = 0, w — 0) ; mais la surface ax 2 + (b + c)œy + dy 2 = 0 
ne passe que par la première, et la surface az 2 + (b + c) zw + dw 2 = 0 ne passe que par la 
seconde de ces deux droites ; donc les deux surfaces se coupent selon la courbe excubo- 
quartique, mais non pas selon l’une ou l’autre des deux droites, c’est-à-dire que les 
deux surfaces cubiques 
ax- + (b + c)xy + dy- = 0, 
az- + (b + c)zw + dw 2 = 0, 
se coupent selon la courbe excubo-quartique, et encore selon une courbe quintique 
9 - 6 + 2. 
Les deux surfaces cubiques ont chacune une droite double, elles sont donc des 
surfaces réglées. La courbe est donc comprise parmi les courbes décrites sur une 
surface cubique réglée, pour lesquelles M. Chasles a trouvé dernièrement une con 
struction géométrique très-élégante. 
3—2