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352.
SUITE DES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION ET LA THÉORIE
DES COURBES.
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tom. lxiv. (1865),
pp. 167—171.]
Dans le mémoire “ Recherches sur l’élimination et la théorie des courbes,” t. xxxiv.
pp. 30—45 de ce Journal (1847), [53], j’ai donné pour une courbe U = 0 du îi-ième
ordre sans points doubles ou de rebroussement, les expressions pour les degrés, tant par
rapport aux coefficients que par rapport aux variables, des fonctions qui entrent dans
l’équation FFU = K U (PU) 2 (QU) 3 U qui sert à expliquer comment la réciproque de la
réciproque de la courbe [7=0 se réduit à la courbe originale [7=0. En partant des
principes établis dans le mémoire, “ N ouvelles Recherches sur l’élimination et la théorie
des courbes,” t. lxiii., pp. 34—39 de ce Journal (1864), [338], je suis parvenu à résoudre
à peu près cette question pour le cas d’une courbe [7 = 0 du w-ième ordre avec a
points doubles et /3 points de rebroussement ; mon investigation a cependant par
rapport à quelques points besoin de confirmation.
Je commence par rappeler que l’équation d’une courbe avec des points doubles et
de rebroussement peut être présentée sous la forme
[7 = aP + bQ + cR + ... = 0,
où a, b, c,... sont des quantités absolument arbitraires, P = 0, Q = 0, R-- 0,... sont des
courbes du w-ième ordre (je suppose toujours que [7=0 est une courbe du w-ième
ordre avec a points doubles et /3 points de rebroussement) qui ont chacune pour chaque
point double de la courbe [7=0 un point double au même point, et pour chaque point
de rebroussement de la courbe [7 = 0 un point de rebroussement au même point et avec
la même tangente. En parlant des coefficients de [7, je désignerai toujours les quantités
(a, b, c,...) sans faire attention aux constantes contenues dans les fonctions (P, Q, R,...).
La fonction [7 (voir les Nouvelles Recherches etc.) a un discriminant spécial KU du
degré 3(ii — l) 2 — 7oc — 11/3 : il y a en outre une certaine fonction AU des coefficients,
