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SUITE DES RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION
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Et puis on a Téquation
FFU = AU. KU .{PU) 2 . (QU) 3 . U.
La comparaison des degrés par rapport aux variables donne
(n 2 — n — 2a — 3/3) (n 2 — n — 1 — 2a — 3/3) =
n(n — 2) (n 2 — 9) — (n 2 — n — 6) (4a + 6/3) + 4a (a — 1) + 12a/3 + 9/3 (/3 — 1)
+ 9n (n — 2) — 18a — 24/3
+ n
ce qui est exacte. La comparaison des degrés par rapport aux coefficients donne
4 (n— 1) (n 2 — n — 1 — 2a — 3/3) = /3
+ 3 (n — l) 2 —7a — 11/3
+ 4n (n - 2) (n - 3) - (4n - 12) (2a + 3/3) - 2/3
+ 9n (n — 2) — 9a — 12/3
+ 1
ce qui de même est exacte.
Les expressions pour les degrés de KU et AU sont déjà démontrées; pour les
autres expressions, en considérant d’abord la courbe générale W = 0 du ?i-ième ordre,
laquelle, en établissant entre les coefficients les relations convenables, se réduit à la
courbe U = 0 avec a points doubles et /3 points de rebroussement, on sait par la
théorie de M. Plücker quels sont les facteurs desquels seront affectés FW, QW, PW,
et qu’il faut écarter pour réduire ces fonctions à FU, QU, PU respectivement.
Pour FW ce facteur est A 2 B 3 , où ^4=0. est l’équation tangentielle des points doubles,
et B = 0, l’équation tangentielle des points de rebroussement : la réduction du degré
par rapport aux variables est donc de 2a + 3/3 unités. En prenant (x, y, z) pour les
coordonnées d’un point double quelconque on a A = IT (fx + ??y + £z), et de même en
prenant (x, y, z) pour les coordonnées d’un point de rebroussement quelconque on a
B = Il (£x + 7?y + £z) ; 4 et il ne contiennent donc pas les coefficients a, b, c,... de
U, et une réduction de degré par rapport aux coefficients n’a pas lieu.
Pour Q W le facteur est M^N*, où 31 — 0 est l’équation des tangentes aux points
doubles et N = 0 l’équation des carrés des tangentes aux points de rebroussement : la
réduction de degré par rapport aux variables est donc 6a 4- 8/8 unités. Soient (x, y, z)
les coordonnées d’un point double, D — xd x + yd y + zd z ; en substituant comme auparavant
(x, y, z) au lieu de {x, y, z) dans la fonction U, l’équation des deux tangentes au point
double est P' 2 U— 0, où D 2 U est du degré 1 par rapport aux coefficients : en formant
l’équation analogue pour chaque point double on a 31 = Il (D 2 U) = 0, et 31 sera du
degré a par rapport aux coefficients. En prenant (x, y, z) pour les coordonnées d’un point
de rebroussement, on a de même N= Il (D 2 U) — 0 pour l’équation des carrés des
tangentes aux points de rebroussement ; K est donc du degré /3 par rapport aux
coefficients. Nous avons vu que l’équation iV=0 se réduit à la forme N=A U.A>i 2( l>l...typ 2 ,
