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ET LA THÉORIE DES COURBES. 
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j’admets cependant qu’il faut retenir ce facteur constant A U, et considérer ainsi N comme 
étant effectivement du degré /3. Le facteur M 3 N A est donc du degré 3a + 4/3, et la 
réduction de degré par rapport aux coefficients qui a lieu pour QW est donc de 
3a + 4/3 unités. 
Pour PW le facteur est R 2 S 3 T, ou R = 0 est l’équation du système des tangentes 
menées à la courbe par les points doubles, S = 0 l’équation du système des tangentes 
menées à la courbe par les points de rebroussement, T = 0 l’équation des droites qui 
contiennent deux points doubles (chacune de ces droites étant comptée 4 fois) ou qui 
contiennent un point double et un point de rebroussement (chacune de ces droites 
étant comptée 6 fois), ou enfin qui contiennent deux points de rebroussement (chacune 
de ces droites étant comptée 9 fois). Par rapport aux variables le degré de R est égal 
à a [n- — n — 6 — 2 (a — 1) — 3/3}, celui de S à /3 {n 2 — n — 6 — 2a — 3 (3 — 1)} : le degré de 
R 2 S 3 est donc égal à (n 2 — n — 6) (2a + 3/3) — 4a (a — 1) — 6a/3 — 9/3 (ß — 1). Le degré 
de T est égal à 4. ^ a (a — 1) + 6a/3 + 9 . \ /3 (/3 — 1), le degré de R 2 S 3 T s’élève donc à 
(n 2 —n —6)(2a+3/3) — 2a (a — 1) — 3a/3 — §/3(/3 — 1), nombre qui exprime la réduction de 
degré par rapport aux variables qui a lieu pour PW. Par rapport aux coefficients le 
degré de R est égal à (2n — 6) a, celui de S à (2n — 6) /3, celui de T à zéro : le degré 
de R S 3 T s’élève donc à (2 n — 6) (2a + 3/3). On aurait par conséquent pour P W par- 
rapport aux coefficients une réduction de degré égale à (2n — 6) (2a + 3/3) unités ; mais 
d’après un exemple très-particulier (il est vrai) j’admets que PW contiendra encore le 
facteur constant A JJ, ce qui donnerait pour le nombre dont il s’agit la valeur 
(2n - 6) (2a + 3/3) + /3. 
J’ai dit que par rapport aux coefficients le degré de R est égal à (2n — 6) a et 
celui de S à (2n — 6) ß : pour prouver l’exactitude de ces nombres il faut se rappeler 
que l’équation © = 0 des tangentes menées par un point quelconque est du degré 
(n 2 —n) par rapport aux variables et du degré 2(n — 1) par rapport aux coefficients. En 
prenant pour le point dont il s’agit un point double ou de rebroussement et supposant 
que dans la courbe il n’y a que ce seul point double ou de rebroussement, le degré 
par rapport aux variables est (n 2 — n — 6) et celui par rapport aux coefficients est 2n — 6. 
Mais dans le cas général 0 contiendra comme facteur G' 2 H 3 , en dénotant par G — 0 
l’équation des droites menées par le point dont il s’agit à tous les points doubles, et par 
H = 0 l’équation des droites menées par ce point à tous les points de rebroussement. 
De cette manière on obtient un abaissement de 2 (a — 1) + 3/3, ou de 2a+3 (/3 — 1) 
unités pour le degré par rapport aux variables, mais le degré par rapport aux 
coefficients est toujours (2n— 6). Donc en considérant les systèmes des points doubles 
et des points de rebroussement, pour R la réduction est égal à (2n — 6) a et pour 
S à (2n — 6) ß unités. 
Les difficultés de cette investigation sont dues aux points de rebroussement : en 
admettant en FF U l’existence d’un facteur {A U) m , il n’est pas clair que l’on doit avoir 
m = 1 ; et la démonstration pour les valeurs des termes en /3, des expressions 
3a + 4/3 et (2n — 6) (2a + 3/3) — /3 est imparfaite. Écrivons 
FFU = (A U) m . KU .{P U ) 2 (QU) 3 . U 
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