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NOTE SUR LA SURFACE DU QUATRIÈME ORDRE DE STEINER. [353 
F = 0 est l’équation tangentielle de la surface U — 0 (et de même F' = 0 est l’équation 
tangentielle de la surface U' = 0). Les deux équations G = 0, G' = 0, qui ont des 
coefficients formés d’après une loi facile à saisir, se changent l’une dans l’autre lorsqu’on 
échange entre elles les deux surfaces quadriques U =0, U' — 0. L’équation G' = 0 (celle 
des deux dont il s’agira dans la suite) est l’équation tangentielle de la surface quadrique 
enveloppée par un plan + rjy + Çz + mw = 0 qui coupe les surfaces U=0, U' = 0 selon 
des coniques 8=0, S' = 0 telles qu’il y ait sur la conique S = 0 une infinité de 
systèmes de trois points conjugués par rapport à la conique S' = 0. 
En supposant à présent que l’équation U' = 0 est celle d’un cône, on peut dire 
que G' = 0 est l’équation tangentielle de la surface quadrique enveloppée par un plan 
qui coupe la surface U = 0 selon une conique S = 0 telle que par cette conique et par 
le sommet du cône U' = 0 on puisse faire passer une infinité de systèmes de trois 
droites conjuguées par rapport au cône U'= 0. On peut présenter le théorème sous 
une autre forme; en faisant passer par le sommet du cône U'= 0 trois droites con 
juguées par rapport à ce cône, et en choisissant à volonté l’un des deux points de 
rencontre de chacune des droites avec la surface U = 0, on obtient trois points qui 
déterminent un plan; en considérant tous les systèmes des trois droites conjuguées, on 
a pour chaque système un plan, et l’enveloppe de ces plans n’est autre chose que la 
surface quadrique G' = 0. 
Je suppose que le sommet du cône U'= 0 soit situé sur la surface TJ= 0, et je 
dis que la surface G' = 0 se réduira à un système de deux points, à savoir le sommet 
du cône U' = 0 et un autre point. Pour démontrer cela, on peut prendre pour 
coordonnées du sommet x = 0, y = 0, z = 0 ; les deux équations seront alors 
U =(a, b , c, 0, /, g, h, l, m, n\x, y, z, wf = 0, 
U' = (a', b', c, 0, /', g, h', 0, 0, 0][æ, y, z, wf = 0, 
(ou, ce qui est la même chose, ü' = (a', b', c', f', g',h'\x, y, zf = 0 et) en substituant 
ces valeurs on voit sans peine que les coefficients de x 2 , y 2 , z 2 , xz, zx, xy dans la fonction 
G' se réduiront à zéro, et que l’équation G' = 0 aura la forme 
G' = (0, 0, 0, D, 0, 0, 0, L, M, v> Ç, o>) 2 =0, 
c’est-à-dire nous aurons 
G' = (o (Dm + 2L£ + 2My + 2NÇ) = 0, 
équation qui représente en effet le point m = 0 (ou ce qui est la même chose le 
point x = 0, y = 0, z = 0) et un autre point Dm + 2LÇ 4- 2Mr\ + 2NÇ = 0, ou ce qui est la 
même chose le point x : y : z : w = 2L : 2M : 2iV" : D. 
Dans le cas actuel chacune des trois droites rencontre la surface U = 0 dans le 
sommet et de plus dans un seul point, et en prenant ce dernier point pour point de 
rencontre de la droite avec la surface U = 0 le plan mené par les trois points ne passe 
pas par le sommet; ce plan passe donc par le point x : y : z : w = 2L : 2M : 2N : D, 
et on a ainsi