353] NOTE SUR LA SURFACE DU QUATRIÈME ORDRE DE STEINER. 423 
Théorème I. En faisant passer par un point donné de la surface quadrique U = 0 
trois droites conjuguées par rapport au cône U' = 0 (qui a ce même point pour sommet) 
le plan mené par les trois points de rencontre des droites avec la surface U = 0 passe 
toujours (quel que soit le système des trois droites conjuguées) par un point fixe. 
J’ajoute que, lorsque les équations U = 0, U' = 0 ont la forme spéciale qui leur a 
été donnée en dernier lieu, les coordonnées du point seront x : y : z : w = 2L : 2M : 2N : D, 
et il convient de remarquer que ces valeurs L, M, N, D sont des fonctions quadriques 
par rapport aux coefficients (a',...) du cône U' = 0. 
Au lieu d’un cône donné U'=0, considérons le système entier des cônes \P+/xQ+vR=0, 
où P = 0, Q = 0, R = 0 sont des cônes donnés ayant leur sommet commun dans le point 
(x = 0, y= 0, z = 0) de la surface et A, g, v des coefficients arbitraires, système qui 
est celui des cônes en involution avec les cônes donnés P — 0, Q — 0, R = 0. A chaque 
système des coefficients A, y, v correspond un point fixe, et en conservant pour ses 
coordonnées la notation antérieure x : y : z : w = 2L : 2ili : 2N : D, les quantités 
L, M, N, P) sont des fonctions quadriques des quantités arbitraires A, n, v. Le lieu 
du point dont il s’agit sera évidemment une surface, et on démontre sans peine que 
cette surface est du quatrième ordre. Car, pour trouver en combien de points la 
surface est rencontrée par une droite quelconque, il faut combiner avec les équations 
x : y : z : w = 2L : 2M : 2N : D les équations de la droite dont il s’agit, c’est-à-dire 
deux équations linéaires en x, y, z, w ; cela donne deux équations linéaires en L, M, N, D, 
ou quadriques en (A, /¿, v). On a ainsi quatre systèmes de valeurs de (A, v) ; et 
à chaque système correspond un seul point (x, y, z, w), il y a par conséquent quatre 
points d’intersection, et la surface est du quatrième ordre. Nous avons donc 
Théorème II. En considérant au lieu du cône U' = 0 le système entier des 
cônes A P + fiQ + vR = 0 en involution avec les cônes P = 0, Q = 0, P = 0 qui ont leur 
sommet commun dans un point de la surface U = 0, le lieu du point fixe du théorème I. 
est une surface du quatrième ordre. 
Cette surface du quatrième ordre est la surface de Steiner, considérée dernièrement 
par MM. Kummer, Weierstrass, Schroter, et Cremona. 
Cambridge, 2 Novembre, 1864.