354] NOTE SUR LES SINGULARITES SUPÉRIEURES DES COURBES PLANES. 425
courbe, ce que l’on peut toujours effectuer par un choix convenable de la direction
des axes, les exposants p, q,... seront tous supérieurs à l’unité. Cela posé, et les
exposants fractionnaires étant exprimés chacun dans ses moindres termes, si a est le
plus petit nombre entier divisible par tous les dénominateurs des fractions (de manière
1
que y soit fonction entière de x°-), je dis que la branche est de l’indice a par rapport
à ses points. On a donc pour y précisément le nombre a de valeurs, qui s’obtiennent
î
en attribuant à x a ses valeurs diverses. A chacune de ses valeurs correspond une
“ branche partielle ” de la courbe, de manière que la branche à l’indice a est com
posée de a branches partielles ; pour a = 1 la branche partielle n’est autre chose que
la branche même. En considérant deux branches partielles, et en désignant par p le
plus petit exposant de x qui se trouve dans la suite par laquelle est exprimée la
différence y 1 — y. 2 des ordonnées des deux branches partielles (ce nombre p pouvant être
entier ou fractionnaire), je pose comme définition que les deux branches partielles ont
un nombre p de points communs, ou d’intersection. En combinant deux à deux les
a branches partielles qui composent la branche de l’indice a, et en formant la somme
des nombres p qui correspondent à chaque paire de branches partielles, on obtient
le nombre des points communs de la branche avec elle-même. En se servant des
coordonnées tangentielles, on a par rapport aux tangentes de la branche une théorie
tout à fait semblable ; cette remarque suffit pour expliquer les notions d’une branche
de l’indice /3 par rapport à ses tangentes, et du nombre des tangentes communes
de la branche avec elle-même.
Comme exemple je prends la singularité donnée par l’équation
y = x7‘ + sfi + ... ;
dans ce cas les exposants n’ont que les dénominateurs 2 et 3, la branche est de
l’indice 6 par rapport à ses points, elle est composée de six branches partielles repré
sentées par les équations
y x = x% + x% ..., 3/4 = x* — x* ...,
y 2 = (0 X* + X% ... , y 6 = (O X* — x% ... ,
y 3 = + x^..., y e = (trx^ — X* ...,
où <w est une racine cubique imaginaire de l’unité. La branche partielle y x coupe les
autres branches partielles dans un nombre f, f, f, f, f de points, ce qui donne pour
la branche partielle'?/! le nombre J^ + f, =*$■ de points; on a ce même nombre ^ pour
les autres branches partielles y 2 , y 3 , y i} y 5 , y 6 respectivement, et de là on trouve, pour
le double du nombre des intersections de la branche avec elle-même, la valeur M = 47,
donc ff=i(47-15) = 16, k = 5.
En coordonnées tangentielles, la branche y = x* + af- + ... s’exprime par l’équation
Z=X i + ...+X^... .
c. v.
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