354] NOTE SUR LES SINGULARITES SUPÉRIEURES DES COURBES PLANES. 425 
courbe, ce que l’on peut toujours effectuer par un choix convenable de la direction 
des axes, les exposants p, q,... seront tous supérieurs à l’unité. Cela posé, et les 
exposants fractionnaires étant exprimés chacun dans ses moindres termes, si a est le 
plus petit nombre entier divisible par tous les dénominateurs des fractions (de manière 
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que y soit fonction entière de x°-), je dis que la branche est de l’indice a par rapport 
à ses points. On a donc pour y précisément le nombre a de valeurs, qui s’obtiennent 
î 
en attribuant à x a ses valeurs diverses. A chacune de ses valeurs correspond une 
“ branche partielle ” de la courbe, de manière que la branche à l’indice a est com 
posée de a branches partielles ; pour a = 1 la branche partielle n’est autre chose que 
la branche même. En considérant deux branches partielles, et en désignant par p le 
plus petit exposant de x qui se trouve dans la suite par laquelle est exprimée la 
différence y 1 — y. 2 des ordonnées des deux branches partielles (ce nombre p pouvant être 
entier ou fractionnaire), je pose comme définition que les deux branches partielles ont 
un nombre p de points communs, ou d’intersection. En combinant deux à deux les 
a branches partielles qui composent la branche de l’indice a, et en formant la somme 
des nombres p qui correspondent à chaque paire de branches partielles, on obtient 
le nombre des points communs de la branche avec elle-même. En se servant des 
coordonnées tangentielles, on a par rapport aux tangentes de la branche une théorie 
tout à fait semblable ; cette remarque suffit pour expliquer les notions d’une branche 
de l’indice /3 par rapport à ses tangentes, et du nombre des tangentes communes 
de la branche avec elle-même. 
Comme exemple je prends la singularité donnée par l’équation 
y = x7‘ + sfi + ... ; 
dans ce cas les exposants n’ont que les dénominateurs 2 et 3, la branche est de 
l’indice 6 par rapport à ses points, elle est composée de six branches partielles repré 
sentées par les équations 
y x = x% + x% ..., 3/4 = x* — x* ..., 
y 2 = (0 X* + X% ... , y 6 = (O X* — x% ... , 
y 3 = + x^..., y e = (trx^ — X* ..., 
où <w est une racine cubique imaginaire de l’unité. La branche partielle y x coupe les 
autres branches partielles dans un nombre f, f, f, f, f de points, ce qui donne pour 
la branche partielle'?/! le nombre J^ + f, =*$■ de points; on a ce même nombre ^ pour 
les autres branches partielles y 2 , y 3 , y i} y 5 , y 6 respectivement, et de là on trouve, pour 
le double du nombre des intersections de la branche avec elle-même, la valeur M = 47, 
donc ff=i(47-15) = 16, k = 5. 
En coordonnées tangentielles, la branche y = x* + af- + ... s’exprime par l’équation 
Z=X i + ...+X^... . 
c. v. 
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