426 NOTE SUR LES SINGULARITÉS SUPÉRIEURES DES COURBES PLANES. [354 
Plus généralement, on a pour une branche y = AaP + BocP + ... lequation en coordonnées 
tangentielles Z=A'Xp~ 1 +B'Xv” 1 -*-..., la forme générale des exposants étant 1 , 
où sont des entiers positifs, résultat que je ne m’arrête pas à démontrer. 
Dans le cas particulier qui nous occupe, la branche est donc de l’indice 2 par rapport 
à ses tangentes. On trouve de suite i\ r =15 et de là r =|(15 — 3) = 6, i= 1; donc la 
singularité dont il s’agit équivaut à un nombre 16 de points doubles, 5 de points de 
rebroussement, 6 de tangentes doubles, et 1 inflexion. 
On a un exemple plus simple dans le point de rebroussement de seconde espèce ; 
l’équation est ici y = æ 2 + x- ... et en coordonnées tangentielles on obtient l’équation 
Z= X 2 +X^ ... de la même forme. De là on trouve 8'=1, k =1, r = 1, t = 1, de 
manière que cette singularité équivaut à 1 point double, 1 point de rebroussement, 
1 tangente double et 1 inflexion. M. Plticker dans son grand ouvrage a trouvé 
ci posteriori que cette singularité se compose de 2| points doubles et de 2| tangentes 
doubles, ce qui donne en effet les mêmes réductions pour la classe et les mêmes nom 
bres pour les inflexions et les tangentes doubles, que donnent mes valeurs S' = 1, k = 1, 
t = 1, i = 1 ; mais il y a à remarquer qu’en considérant par exemple une courbe du 
quatrième ordre avec un point double et un point de rebroussement de seconde espèce 
(courbe qui existe), on aurait S + k = 3£, nombre plus grand que le maximum du 
nombre des points doubles et de rebroussement que peut avoir une courbe du quatrième 
ordre. 
Je n’ai parlé que des singularités simples, où il y a une seule branche de la 
courbe, mais on étend sans peine la théorie précédente aux singularités composées, où 
il y a plusieurs branches de la courbe. Cette extension exige la distinction de trois 
cas différents. Il peut y avoir sur la courbe un point avec une seule tangente, mais 
avec plusieurs branches qui se touchent,—ou un point avec plusieurs tangentes dont 
chacune touche une ou plusieurs branches,—ou enfin une tangente avec plusieurs points 
de contact, dans lesquels la tangente touche une seule ou plusieurs branches de la 
courbe. 
Cambridge, 1 Juin, 1865.