428 SUR UN THÉORÈME RELATIF À HUIT POINTS SITUÉS SUR UNE CONIQUE. [355
deux les n points on obtient \n (n — 1) droites G : ces droites se coupent deux
à deux dans les n points donnés, qui comptent pour \n {n — 1) (n — 2) intersections, et
de plus dans ¿n (n — 1 ) (n — 2) (n — 3) points r. Chacune des n tangentes rencontre les
[\n{n — 1) — {n — 1)} droites G qui ne passent pas par le point de contact de cette
tangente, dans (n — 1) (n — 2) points s, ce qui donne en tout %n(n — l)(w— 2) points s.
Enfin les n tangentes se rencontrent deux à deux dans \n(n— 1) points t.
On a ainsi
(n — 1) (n — 2) (n — 3) points r,
%n(n-l)(n-2) „ s,
£«(«-1) „ t,
ensemble ^ n (n — 1) {n* — n + 2) points ;
or parmi ces points il y a selon les trois théorèmes de Steiner un grand nombre de
systèmes de 8 points sur une conique.
Prenons d’abord sur la conique donnée 4 points quelconques a, b, c, d des n
points, et considérons aussi les points consécutifs a', b', c, d’. La figure des 4 points
a, b, c, d et des 4 tangentes dans ces mêmes points équivaut à celle des 8 points
a, a, b, b’, c, c', d, d'. Partant de l’arrangement abcd (lisez-le cycliquement et il
correspondra à l’un des 3 quadrilatères que l’on peut former avec les 4 points) on
forme avec les 8 points les deux systèmes que voici de 4 droites chacun :
système cia', bb', cc', dd', c’est-à-dire les tangentes aux 4 points a, b, c, d\
système a'b, b'c, c'd, d'a, c’est-à-dire ab, bc, cd, da ;
et ces deux systèmes se rencontrent dans les 8 points a, a', b, b', c, c', d, d' (ou, ce
qui est la même chose, dans les points a, b, c, d, chacun compté 2 fois) et dans
8 nouveaux points compris entre les points r, s, t\ ces 8 points sont donc situés
sur une conique. Comme il y a 3 arrangements abcd, acdb, adbc des 4 points, on
obtient de cette manière 3 systèmes de 8 points sur une conique.
Prenons sur la conique 5 points quelconques a, b, c, d, e des n points, et con
sidérons aussi 3 points consécutifs a', b', c'. Partant de l’arrangement abcde (qui
correspond à l’un des 12 pentagones que l’on peut former avec les 5 points) on
forme avec les points a, a', b, b', c, c', d, e les deux systèmes de 4 droites chacun :
système aa', bb', cc', de, c’est-à-dire les tangentes en a, b, c et la droite de ;
système a'b, b'c, c'd, ea, c’est-à-dire ab, bc, cd, ea\
et on obtient de là (parmi les points r, s, t) un système de 8 points sur une conique.
A cause des 12 arrangements des 5 points, il y a 12 systèmes. Mais au lieu des
points consécutifs {a', b', c') on aurait pu prendre toute autre combinaison (a', b', d')
etc.; le nombre des combinaisons étant 10, il y a donc 12x10 = 120 systèmes de
8 points sur une conique.
