355] SUR UN THÉORÈME RELATIF À HUIT POINTS SITUÉS SUR UNE CONIQUE. 429 
Prenons de même 6 points quelconques a, b, c, d, e, f des n points. En con 
sidérant les points consécutifs a', b' et en partant de l’arrangement abcdef, on forme 
avec les 8 points a, a', b, b’, c, d, e, f les deux systèmes de 4 droites : 
système aa', bb', cd, ef, c’est-à-dire les tangentes en a, b et les droites cd, ef\ 
système a'b, b'c, de, fa, c’est-à-dire ab, bc, de, fa ; 
ce qui donne parmi les points r, s, t un système de 8 points sur une conique. Il 
y a 60 arrangements des points a, b, c, d, e, / et 15 combinaisons (a', b’) etc. des 
points consécutifs; on a donc 60x 15 =900 systèmes de 8 points sur une conique. 
Prenons encore 7 points quelconques a, b, c, d, e, f g des n points. En con 
sidérant le point consécutif a', et en partant de l’arrangement abcdefg, on forme avec 
les points a, a', b, c, d, e, / g les deux systèmes de 4 droites : 
système aa', bc, de, fg, c’est-à-dire la tangente en a, et les droites bc, de, fg ; 
système a'b, cd, ef ga, c’est-à-dire ab, cd, ef, ga ; 
et on obtient ainsi parmi les points r, s, t un système de 8 points sur une conique. 
Il y a 360 arrangements abcdefg, etc. et 7 différents points consécutifs a', etc. : cela 
donne 360 x 7 = 2520 systèmes de 8 points sur une conique. 
Prenons enfin 8 points quelconques a, b, c, d, e, / g, h des n points : 
partant de l’arrangement abcdefgh, on forme avec les 8 points les deux systèmes 
de 4 droites chacun (ab, cd, ef, gh) et (bc, de, fg, ha), ce qui conduit à un système 
de 8 points sur une conique. Mais on a 2520 arrangements abcdefgh, etc.—il y a 
ainsi 2520 systèmes de 8 points sur une conique. 
On voit que les systèmes de 8 points sur une conique se dérivent de 4, 5, 6, 7 ou 8 
des n points sur la conique donnée. En supposant n = 4 on n’a que les systèmes qui 
se dérivent des 4 points ; si n = 5, on a les systèmes qui se dérivent de 4 points choisis 
d’une manière quelconque entre les 5 points—et les systèmes qui se dérivent des 
5 points : et ainsi de suite ; pour n = 8 on a les systèmes qui se dérivent de 4, 5, 6 ou 7 
points choisis d’une manière quelconque entre les 8 points, et les systèmes qui 
se dérivent des 8 points. On peut former la table suivante pour montrer dans les 
différents cas le nombre des systèmes de 8 points sur une conique : 
Nombre des systèmes de 8 points 
sur une conique 
r= 
S = 
t= 
r+s+t= 
4 points 
5 points 
6 points 
7 points 
8 points 
3 
120 
900 
2520 
2520 
n- 4, sys. 3 
3 
12 
6 
21 
x 1 = 3 
71=0, sys. 4 
15 
30 
10 
55 
x 5= 15 
x 1= 120 
71 = 6, sys. 5 
45 
60 
15 
110 
x15 = 45 
x 6= 720 
x 1 = 900 
71= 7 
105 
105 
21 
231 
x 35 = 105 
x 21 = 2520 
x 7 = 6300 
x1 = 2520 
71 = 8 
210 
168 
28 
406 
x 70= 210 
x 56 = 6720 
X 28 = 25200 
x 8 = 20160 
x 1 = 2520 
Le cas n = 4 est le théorème 3 de Steiner, il y a 3 systèmes de 8 points sur une 
conique; le cas n — b est le théorème 4, il y a 15 + 120 systèmes; le cas n — 6 est le