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305] CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 
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£N ESPACE. 
Je fais abstraction de la courbe plane, et je cherche à rattacher les quatre autres 
espèces à la théorie de la surface monoïde. Pour cela je remarque qu’en prenant pour 
sommet du cône et de la surface monoïde un point quelconque, la surface monoïde (ne 
pouvant pas être de l’ordre 2) sera de l’ordre 3 ou 4. 
Je considère d’abord le cas d’une monoïde cubique : la signature sera 222211 ou 
222220. 
Monoïde cubique, signature 222211.—Ici le cône U— 0 passe par les six droites de 
la monoïde ; donc U est fonction syzygétique de P et Q : autrement dit, on peut 
trouver P' et Q' fonctions homogènes de (æ, y, z) de manière à avoir identiquement 
U = PQ' — P'Q : P et Q sont des ordres 3 et 2 respectivement, donc P' et Q' seront 
aussi des ordres 3 et 2 respectivement. En combinant les équations 
P=P(/-P'Q = 0, iv = ç , 
on obtient 
P' 
"’“O” 
rai. (Janvier— 
ou plus généralement 
P +aP' 
W = —; r,, 
Q + °-Q 
équations 
(où a est un paramètre arbitraire) ; mais en écrivant cette équation sous la forme 
(Qw + P) + a. (Q'w — P') = 0, on voit que les monoïdes cubiques que représente cette 
équation sont toutes en involution avec les deux monoïdes cubiques Qiv — P = 0, 
Q'w — P' = 0 ; on peut donc dire qu’il y a dans le cas dont il s’agit deux monoïdes 
aonoïde du p ieme 
0, Q = 0) de la 
que je nomme 
iméros 2, 1, 0, 
la monoïde sont, 
droites qui ne 
222211 fait voir 
222220, qu’il y 
cubiques. 
Monoïde cubique, signature 222220.—Ici le cône ne passe pas par les six droites de 
la monoïde, donc il n’existe pas d’équation identique telle que U = PQ' — P'Q, et la 
P 
monoïde w = . est la seule monoïde cubique. 
y 
Je passe au cas d’une monoïde quartique ; la signature sera 
222111111111, ou 222211111110, ou 222221111100, ou 222222111000. 
. 672) qu’il y a 
Monoïde quartique, signature 222111111111.—Le cône 17=0 passe ici par toutes les 
douze droites de la monoïde, c’est-à-dire on aurait identiquement U ----- PQ' — P'Q, où P, Q 
seraient des fonctions homogènes de (x, y, z) des ordres 2 et 1 respectivement, et il y 
. A. 
) 
P' , ■ 
aurait une monoïde quadrique w — jÿ • Ce cas n’existe donc pas. 
Q 
1 
Monoïde quartique, signature 222211111110.—Le cône U = 0 passe par toutes les 
) 
> 
douze droites de la monoïde, hormis une seule droite ; donc en écrivant M = 0 pour 
l’équation d’un plan quelconque par cette droite exceptée, le cône MU =0 passe par 
les douze droites de la monoïde : on a donc identiquement MU = PQ' — P'Q, où P', Q' 
> 
C. Y. 4 
C. Y.