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356. 
SUR UN CAS PARTICULIER DE LA SURFACE DU QUATRIÈME 
ORDRE AVEC SEIZE POINTS SINGULIERS. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tom. lxv. (1866), 
pp. 284—291.] 
Dans la note “sur la surface des ondes” (Liomille t. xi., 1846), [47], j’ai étudié 
sous le nom de tétraédroïde la surface du quatrième ordre douée de seize points 
singuliers, et qu’une transformation homographique fait naître de la surface des ondes. 
Mon point de départ a été la propriété fondamentale suivante. 
“Le tétraédroïde est une surface du quatrième ordre, qui est coupée par les plans 
d’un certain tétraèdre suivant des paires de coniques par rapport auxquelles les trois 
sommets du tétraèdre dans ce plan sont des points conjugués. De plus : les seize 
points d’intersection des quatre paires de coniques sont des points singuliers de la 
surface, c’est-à-dire des points où, au lieu d’un plan tangent, il y a un cône 
tangent du second ordre.” 
Dans la même note j’ai reconnu l’existence de seize plans singuliers qui touchent 
chacun la surface suivant une conique. Il est intéressant d’examiner de quelle 
manière mes formules se rattachent à celles de M. Kummer dans ses belles recherches 
(Monatsbericht der Berliner Akademie fur 1864, pp. 246—260 et 495—499) relatives 
à la surface du quatrième ordre douée de seize points singuliers. 
Partant des formules de M. Kummer il convient, pour plus de symmétrie, de 
changer les signes de a, /; puis en remarquant que dans l’équation (3) p. 250 on 
doit avoir (voir p. 496) + §cf au lieu de — fcf, l’équation de la surface sera 
a-q-r 2 + b-r % p- + c 2 p 2 q 2 + d 2 p 2 s 2 -f e-q 2 s 2 +f 2 r 2 s 2 
+ 2bcp 2 qr + 2 cepq 2 s — 2 bfpr 2 s — 2efqrs 2 
+ 2 capq 2 r + 2 afqr 2 s — 2 cdqp 2 s — 2fdrps 2 
+ 2 abpqr 2 + 2 bdrp 2 s — 2 aerq 2 s — 2 depqs 2 — 4gpqrs = 0.