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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. [305 
sont des ordres 3 et 2 respectivement, et il passe 
par la courbe la monoïde cubique 
; de plus M contient une constante arbitraire (il/ = K + olL, en prenant K = 0, L = 0 
pour les équations de deux plans qui passent chacun par la droite mentionnée) ; donc 
P', Q' contiennent aussi cette constante arbitraire, autrement dit il y a deux monoïdes 
cubiques. Cela rentre donc dans le cas, monoïde cubique, signature 222211. 
Monoïde quartique, signature 222221111100.—Le cône £7=0 passe par toutes les 
droites de la monoïde, hormis deux droites ; donc en écrivant M — 0 pour l’équation du 
plan passant par ces deux droites, le cône M£7=0 contient toutes les droites; on a 
donc identiquement MTJ = PQ' — P'Q, où P', Q' sont des ordres 3 et 2 respectivement, 
P' 
et il passe par la courbe la monoïde cubique w = -y. Mais ici M = 0 est un plan 
Q 
déterminé ; donc P' et Q' sont aussi des fonctions déterminées, et il n’y a qu’une 
seule monoïde cubique. Cela rentre dans le cas, monoïde cubique, signature 222220. 
Monoïde quartique, signature 222222111000.—Le cône £7 = 0 passe par toutes les 
droites de la monoïde, hormis trois droites ; donc en prenant M = 0 pour l’équation d’un 
cône quadrique quelconque qui passe par les droites exceptées, le cône MU =0 passe 
par toutes les droites. On a donc identiquement MU — PQ' — P'Q, où P', Q' sont des 
P' 
ordres 4 et 3 respectivement. Cela donne la monoïde quartique w = ,y . Mais M con- 
Q 
tient trois constantes arbitraires : il y a donc trois nouvelles monoïdes quartiques 
w = 
P 1 
Q" ’ 
w = 
P'” 
ou en tout quatre monoïdes quartiques. 
On démontre sans peine que pour l’espèce 6 — 1, il y a deux monoïdes cubiques, 
pour l’espèce 9—6 + 2 une seule monoïde cubique, et que pour les espèces 8 — 3 et 
9 — 3 — 1 il n’y a pas de monoïde cubique ; on a donc l’identification que voici : 
Espèce 6 — 1, monoïde cubique, signature 
Espèce 9 — 6+2, monoïde cubique, signature 
Espèce 8 — 3 
Espèce 9 — 3—1 
, monoïde quartique, signature 
222211, 
222220, 
222222111000, 
et il ne reste qu’à distinguer les deux espèces 8 — 3 et 9 — 3 — 1, considérées comme 
représentées au moyen de cône et monoïde. 
Je remarque que le système de cône et monoïde à signature 222222111000 con 
tient 20 constantes. En effet, en prenant Q = 0 un cône cubique quelconque (9 con 
stantes), on peut prendre à volonté sur ce cône huit droites (8 constantes), et par six de 
ces droites comme droites doubles et deux de ces droites comme droites simples (20 con 
ditions) faire passer le cône quintique determiné £7=0; ce cône et le cône cubique Q = 0 
se coupent selon les huit droites (qui comptent pour quatorze droites) et selon une 
neuvième droite ; et par les neuf droites on peut faire passer le cône quartique P = 0 
(5 constantes). 
Cela donne la monoïde quartique 
où w contient implicitement