[357 
b, a) 
357] A SUPPLEMENTARY MEMOIR ON THE THEORY OF MATRICES. 447 
which is in fact 
1, 
0, 
0, 
0 
)=( 
¿14? 
¿24? ¿34? 
¿44 
0, 
1, 
0, 
0 
¿13? 
¿23? ¿33? 
¿43 
0, 
0, 
1, 
0 
¿12? 
¿22? ¿32? 
¿42 
0, 
0, 
0, 
1 
¿11? 
¿21? ¿31? 
~ ¿41 
and we obtain for the equality of the two matrices the six conditions 
1 = ¿14 = ¿23? 0 = i]3 = ¿12 = ¿24 == ¿34? 
equivalent to the former set of six conditions. 
20. We obtain from either set of conditions, for the determinant the value 
a, 
b, 
c, 
d 
e , 
f> 
g> 
h 
i , 
j> 
h, 
l 
m, 
n, 
0, 
P 
21. Write 
{x, y, z, w) = ( a, b, c, d ][X, Y, Z, If); (ad, y, z', — b, c, d Y', Z', W'), 
e , f, g, h 
e ? /, g, h 
i , j, h, l 
i , j, k, l 
m, n, o, p 
m, n, o, p 
then substituting for (x, y, z, w) (ad, y, z', id) their values, we find 
xvd + yz' — zy' — wed = — ( t n , ij2, ¿i 3 , ¿14 ][X, F, Z, W'fyX', Y’, Z', W'), 
¿21 ) ¿22? ¿23? ¿24 
¿31? ¿32? ¿33? ¿34 
¿41 ? ¿42 ? ¿43 ? ¿44 
= ( . . • - 1 lx, Y,Z, W§X', F, Z', W% 
. . -1 
. 1 
1 . 
= XW'+YZ'-ZY'-WX'- 
and similarly writing 
(X,Y,Z,W) = ( 
P> 
l, -h, 
- d ][x, y, z, w)\ (X’, Y', Z', W') = 
P? 
l, -h, -d \x', y\ z', w'\ 
i 
o , 
k, -g, 
— c 
o , 
k, -g, -c 
-n, 
-h /» 
b 
— n, 
-j? /? b 
— m, 
-i e, 
a 
— m, 
— i, e, a