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305] CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES COURBES EN ESPACE. 27 
nonoïde cubique 
comme facteur une constante ; il y a donc en tout 9 + 8 + 5 + 1 = 23 constantes. Mais 
ant K = 0, L = 0 
en combinant l’équation de la monoïde avec l’équation U = 0 du cône quintique, on 
obtient la monoïde quartique 
mtionnée) ; donc 
i deux monoïdes 
11. 
P + aP' + ¡3P" + yP'" 
0> ~Q+«Q , + /3Q" + yQ" / ’ 
! par toutes les 
iur l’équation du 
s droites ; on a 
! respectivement, 
et sans perte de généralité on peut disposer des constantes i, ¡3, y, de manière à satis 
faire à trois conditions quelconques ; on doit donc diminuer de 3 le nombre 23, ce qui 
donne enfin 20 constantes. 
La courbe 8 — 3 contient 18 constantes, il faut donc chercher quelle est la parti 
cularité qui doit avoir lieu pour que le cas, monoïde quartique à signature 222222111000, 
= 0 est un plan 
donne une courbe 8 — 3. 
il n’y a qu’une 
ture 222220. 
J’ai nommé droites de la monoïde les droites P = 0, Q — 0 qui passent par le 
sommet ; en supposant qu’il y ait sur la monoïde des droites qui ne passent pas par 
par toutes les 
• l’équation d’un 
3 MU = 0 passe 
P', Q' sont des 
le sommet, on peut appeler transversale une telle droite. Or, pour l’espèce 8 — 3, il 
doit exister sur la monoïde quartique trois transversales qui ne se rencontrent pas ; 
car alors, en faisant passer par ces transversales un hyperboloïde, cet hyperboloïde et 
la monoïde se coupent selon les trois transversales et selon la courbe 8 — 3 dont il s’agit. 
Or, en supposant qu’il existe une transversale, le plan passant par le sommet et cette 
•. Mais M con- 
transversale contient trois des droites P = 0, Q = 0. En effet, un plan quelconque par le 
rides quartiques 
sommet coupe la monoïde selon une courbe quartique avec un point triple au sommet ; 
pour le plan mené par une transversale, cette courbe quartique devient la transversale 
et une courbe cubique avec un point triple au sommet ; cette courbe cubique sera 
évidemment un système de trois droites, à savoir trois des droites P — 0, Q = 0. Et 
tnoïdes cubiques, 
espèces 8 — 3 et 
ue voici : 
réciproquement, si trois quelconques des droites de la monoïde sont situées dans un 
plan, ce plan coupe la monoïde selon les trois droites et selon une transversale. S’il 
y a sur la monoïde une seconde transversale, il y aura de même un second système 
de trois droites dans un plan ; on ’démontre que si le premier système est composé de 
trois droites, et le second système de trois autres droites, les deux transversales se 
000, 
coupent ; donc, si les deux transversales ne se coupent pas, les deux systèmes auront 
une droite commune. S’il y a sur la monoïde une troisième transversale, il y a de 
même un troisième système de trois droites dans un plan ; et si les trois transversales 
ne se rencontrent pas, il est de plus nécessaire que deux quelconques des trois plans 
nsidérées comme 
aient en commun une droite de la monoïde ; cela revient à dire qu’il doit y avoir 
parmi les douze droites P = 0, Q = 0 de la monoïde six droites 7, 8, 9, 7', 8', 9' telles 
que les droites 7, 8', 9', les droites 7', 8, 9', et les droites 7', 8', 9 soient situées 
2222111000 con- 
slconque (9 con- 
;s), et par six de 
simples (20 con 
fie cubique Q — 0 
ïs) et selon une 
quartique P — 0 
chaque système dans un même plan : cela étant, la monoïde aura trois transversales 
qui ne se rencontrent pas. 
Je prends à volonté par un point quelconque de l’espace un tel système de six 
droites 7, 8, 9, 7', 8', 9' (9 constantes) ; je fais passer par les six droites un cône 
cubique quelconque Q = 0 (3 constantes) et aussi un cône quartique quelconque P = 0 
p 
(8 constantes); au moyen des deux cônes je forme l’équation w = , J de la surface 
:nt implicitement 
monoïde ; il y a une constante arbitraire contenue implicitement en w : cela donne en 
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