34 NOTE Süß LES FONCTIONS al (x), &C., DE M. WEIERSTRASS. 
Cela étant, en posant 
[307 
on obtient 
et de là 
ï = 
X 
vr 
dz 
1 dz 
d 2 z 
_ 1 
d 2 z 
dx 
~\/%dÇ’ 
dx 2 
~k 
dÇ 2 ’ 
dz 
dz 
d 2 z 
= k 
d 2 z 
w 
= ^ k Tx ’ 
d? 
dx 2 ’ 
k = k, 
x dz dz 
~ 7= H 7~ 
dz x dz 
L’équation différentielle devient ainsi 
d 2 z dz 
k S + 2¥x % + 2æ (æ+a Ê)+**■*=°- 
c’est-à-dire 
d~z 1 + k 2 dz 9 ,, 2 
(/¿e 2 k X dx dk 
+ x 2 z = 0, 
équation qui sera ainsi satisfaite par 
al (Æ)> Mæ),* tAjÙ,’ 
Or en écrivant 
l’équation en z devient 
(1) 
k + -j- — a, 
d 2 z n dz _ , „ .. cfe „ . 
- + 2ax -= 2 a--! T + = 0, 
2 dx K ' da 
dx 
laquelle est ce que devient celle-ci 
d 2 z 
dx 2 
(J'2 Z fl Z fl 7 
(2) (1 - ax 2 + x i ) +(n - 1 )(ax - %/?) ^ - 2n (a 2 - 4) ^ + n (n - 1) a?z = 0, 
cia 
en y écrivant _ au lieu de x, et puis n—co. L’équation (2), trouvée par Jacobi 
vn 
(Journal de Crelle, t. iv. p. 185, 1829), a la propriété que voici, savoir en posant 
«-‘4 
alors l’équation est satisfaite en prenant pour z soit le numérateur, soit le dénominateur, 
de la fonction rationnelle de x qui donne la valeur de la fonction V\sinam|j^., xj , 
où X, M sont le module et le multiplicateur qui correspondent à la transformation de 
l’ordre n (n étant un nombre impair quelconque).