544 NOTE SUR LA CORRESPONDANCE DE DEUX POINTS SUR UNE COURBE. [377 
les points P' et P une correspondance (a, a'), et si le nombre des points unis de ce 
système est a; s’il y a entre les points P' et Q une correspondance (/3, /3'), et si le 
nombre des points unis de ce système est b, et ainsi de suite; alors le théorème prend 
la forme 
pa + qb+ ... =p (a + a)+ q(/3 +/3')+ ... + ZkD ; 
c’est la forme applicable à l’exemple qui suit. 
3°. Recherche du nombre des tangentes doubles.—Prenons pour la courbe © = 0 le 
système des (M — 2) tangentes menées à la courbe par le point donné P' ; on a ici les 
points P qui sont les points de contact de ces tangentes, et les points Q qui sont 
les autres intersections de la courbe par ces tangentes ; les intersections sont le point 
P' (M — 2) fois (donc k = M — 2), le système des points P (2 fois) et le système des 
points Q (1 fois). Le système P, P' est précisément celui qui donne les points 
d’inflexion. On a donc 
a = a! = m — 1 ; 
a est égal au nombre de points d’inflexion (mais, pour plus de commodité, je retiens 
le symbole a) ; p = 2. Le système P, Q est un système qui a pour points unis les 
points de contact des tangentes doubles, le nombre b des points unis sera donc 2t, 
en dénotant par t le nombre des tangentes doubles. On a pour la correspondance 
(/3, ¡3') entre les points P' et Q 
/3 = /3' = (m-3) (M- 2); 
enfin 
q = l. 
Le théorème donne ainsi 
2a 4- b = 2 (m + M — 4) + 2 (m — 3) (M — 2) + 2 (M — 2) D ; 
mais nous avons ci-dessus trouvé 
a = (m + M — 4) + 4 D ; 
donc enfin 
b = 2r = 2 (m - 3) (M-2) + 2 (M-6) D, 
où, en substituant pour M et D leurs valeurs, on retrouve la formule ordinaire 
2t = m (m — 2) (m 2 — 9) — (m 2 — m — 6) 4« + 4a? (x — 1). 
Parmi les intersections des courbes U = 0, © = 0, il peut y avoir un système 
simple ou multiple de points fixes, c’est-à-dire indépendants de la position du point 
P' ; disons un système de À, points A (l fois). Il y aura dans ce cas, entre les 
points P', A, une correspondance (0, A), et les points unis du système sont les points 
A mêmes ; le nombre des points unis est donc A ; les deux côtés de l’équation 
contiendront les termes égaux IX et l (0 + A) respectivement, qui se détruisent, ce qui 
fait voir qu’il est permis de négliger les points fixes A, et ne faire attention qu’aux 
points d’intersection variables.