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NOTE SUR LA CORRESPONDANCE DE DEUX POINTS SUR UNE COURBE. 
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Il est assez remarquable que le théorème général peut s’écrire sous cette forme plus 
simple 
pa + <?b + ... =p(a + a')+ q(/3 + /3') + ..., 
en comprenant parmi les systèmes formés par les intersections des courbes U = 0, 
© = 0, le système du point P' (k fois), et en posant pour ce système 
a = 0, a = a = D ; 
le système du point P (k fois) donne ainsi un terme = 0 au côté gauche, un terme 
= 2kD au côté droit de l’équation. 
Comme dernier exemple appartenant à la formule simple 
a — et —J— oc -t- 2kD, 
je prends : 
4°. Recherche du nombre des 'points seætactiques, c’est-à-dire des points qui sont 
tels, que par chacun passe une conique qui a dans ce point un contact du cinquième 
ordre avec la courbe.—Il faut prendre pour les points P les intersections avec la 
courbe de la conique qui a au point P' un contact du quatrième ordre ; les points 
unis seront ceux dont il s’agit. La courbe © = 0 est la conique qui a au point P' 
un contact du quatrième ordre. On a ainsi, parmi les intersections, le point P r 5 
fois ; donc k = 5. A chaque point P' correspondent 2m — 5 points P ; à chaque point 
P, (10??i 2 — 20m — 5 — 208) points P' (j’emprunte le terme — 208 d’une formule que vient 
de donner M. Zeuthen); donc la formule donne pour le nombre des points unis 
10?n 2 - 18m - 10 - 208 + 10P, 
c’est-à-dire 
15m 2 — 33m — 308. 
Mais cette expression comprend le nombre 3m (m - 2) — 68 des inflexions ; en effet, 
pour un point d’inflexion, la conique avec contact du quatrième ordre se réduit à la 
tangente prise deux fois, ce qui est une conique avec contact du cinquième ordre. 
Donc enfin le nombre des points sextactiques sera 
m (12m-27)-248, 
ou, pour une courbe sans points doubles, 
m (12m — 27) : 
ce qui s’accorde avec la valeur que j’ai trouvée par d’autres moyens, [341]. 
C, Y. 
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