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311. 
ON A THEOREM OF ABEL’S RELATING TO EQUATIONS OF 
THE FIFTH ORDER. 
[From the Philosophical Magazine, vol. xxi. (1861), pp. 257—263.] 
The following is given (Abel, Œuvres, vol. il. p. 253 [Ed. 2, vol. II. p. 266]) as 
an extract of a letter to M. Crelle : 
“Si une équation du cinquième degré, dont les coefficients sont des nombres 
rationnels, est résoluble algébriquement, on peut donner aux racines la forme suivante, 
A i i X î . A X i i i , 12 4 3 1243 
x = c + Aa°agaga ? ; + A^ag ap ar a r> + A. 1 a.rapaHi{‘ + A 3 a 3 a a°apa^> 
ou 
a = m + n Vi + e 2 + J h (1 + e 2 + Vl + e 2 ), 
a 1 — m — n Vl + e 2 + J h (1 + e 2 — Vl + e 2 ), 
a* 
1 2 = m + n Vl + e~ — h (1 + e 2 + Vl + e 2 ), 
1 3 = m — n Vl + e 2 — J h (1 + e 2 — Vl + e 2 ), 
A — K + K'a + K"a 2 + K"aa 2 , A 1 = K + K'a^ + K"a 3 + K"'a 1 a 3 , 
A 2 = K + K'a 2 + K" a + K"aa 2 , A 3 =K + K'a 3 + K"a x + K'"a x a 3 . 
Les quantités c, h, e, m, n, K, K', K", K' n sont des nombres rationnels. 
“ Mais de cette manière l’équation x? + ax + b = 0 n’est pas résoluble tant que a 
et b sont des quantités quelconques. J’ai trouvé de pareils théorèmes pour les équations 
du 7 ème , ll ème , 13 ème , &c. degré. Fribourg, le 14 Mars, 1826.” 
The theorem is referred to by M. Kronecker {Perl. Monatsb. June 20, 1853), but 
nowhere else that I am aware of.