SUR LES COURBES APLATIES.
[From the Comptes Rendus de VAcadémie des Sciences de Paris, tom. lxxiv. (Janvier—
Juin, 1872), pp. 708—712.]
En lisant la thèse de M. S. Maillard, Recherches des caractéristiques des systèmes
élémentaires des courbes planes du troisième ordre (Paris, 1871), j’ai été conduit à
quelques réflexions sur la théorie générale des courbes aplaties de M. Chasles ( 1 ).
Je considère une courbe représentée par une équation de l’ordre n, f(x, y, k) = 0,
laquelle pour k = 0 se réduit à la forme P a Q p ... =0. Pour k un infiniment petit, ou
disons pour k = O 1 , cette courbe sera ce que je nomme la pénultième de P a Q p ... — 0 ;
la courbe P a Q? ... = 0 elle-même sera la courbe finale ; et les courbes P = 0, Q = 0, ,
les facteurs. Or en menant par un point donné quelconque les tangentes à la courbe
pénultième, ces tangentes approchent continuellement aux droites que voici : 1° les
tangentes aux courbes P = 0, Q = 0,..., respectivement ; 2° les droites par les points
singuliers de ces mêmes courbes respectivement ; 3° les droites par les intersections de
deux quelconques de ces mêmes courbes P = 0, Q= 0,... , respectivement ; 4° les droites
par certains points situés sur l’une quelconque des mêmes courbes P = 0, Q = 0,.... En
ne faisant aucune supposition particulière par rapport à la courbe pénultième, cette
courbe sera une courbe sans points singuliers, et ainsi de la classe ri 2 — n: le nombre
des droites 1°, 2°, 3°, 4° (en faisant attention à la multiplicité de quelques-unes de ces
droites) sera donc égal à ri 2 — n. Les droites 3° sont comptées chacune un certain
nombre de fois ; en supposant que pour un point d’intersection P = 0, Q = 0 quelconque
ce nombre soit 6, nous dirons qu’il y a à ce point un nombre 6 de sommets fixes.
Les droites 4° sont comptées en général chacune une seule fois; les points par lesquels
passent ces droites (points sur l’une quelconque des courbes P = 0, Q = 0, ...) seront
1 Comptes Rendus, t. lxiv. p. 799—805 et 1079—1081 ; séances des 22 avril et 27 mai 1867.
