•SUR LES COURBES APLATIES. 
[5 i 5 
515] .SUR LES COURBES APLATIES. 259 
nvier— 
nommés sommets libres. Cela étant, on peut considérer la courbe pénultième comme 
équivalente à la courbe finale P a Q& ... = 0 plus les sommets: il s’agit, pour un cas 
donné quelconque, de trouver le nombre et la distribution de ces sommets. 
Je considère d’abord le cas le plus simple, celui d’une conique aplatie, pénultième 
de x 2 = 0 ; l’équation d’une telle conique est 
(a, b, c, f, g, h\x, y, zf = 0, 
où, en prenant a= 1, tous les autres coefficients seront des infiniment petits, pas en 
général du même ordre. Les tangentes menées à la courbe par un point donné (a, /3, y) 
seront déterminées par l’équation 
(bc -f 1 , ca - g 2 , ab - h 2 , gh - af, hf- bg, fg - ch) x (yy - (3z, az - yx, ¡3x - ay) 2 = 0 ; 
ou disons 
(bc -f 2 , c -g 2 , b- h 2 , gJi— f, hf- bg, fg - ch) x (yy - /3z, az - yx, 0x - ay) 2 = 0. 
En considérant pour un moment tous les coefficients comme étant des infiniment 
petits du même ordre, = O 1 , cette équation se réduit à 
(0, c, b, — f, 0, Ofpyy — /3z, az — yx, /3x — ay) 2 = 0, 
systèmes 
nduit à 
ou, ce qui est la même chose, 
(c, ~f bf az - yx, ¡3x - ayf = 0 ; 
> k) = 0, 
)etit, ou 
3 -. = 0; 
= 0,..., 
. courbe 
1° les 
i points 
tions de 
droites 
... En 
e, cette 
nombre 
de ces 
certain 
Iconque 
ts fixes. 
lesquels 
seront 
et ces tangentes coupent la droite x = 0 dans les deux points donnés par l’équation 
(c, — f, b'faz, — ay) 2 = 0, c’est-à-dire by 2 + 2fyz -j- cz 2 — 0, points indépendants de la position 
du point donné (a, ¡3, y) ; ces points sont en effet les intersections de la pénultième par 
la droite x = 0. 
Mais il y a là une restriction qu’on évite au moyen d’une supposition plus générale, 
savoir: en prenant g, h du premier, b, c, f du second ordre, ou disons g, h = 0 1 , b, c, f= O 2 , 
l’équation des tangentes devient 
(0, c-g 2 , b-h 2 , gh-f, 0, Ofyy - fiz, az - yx, (3x - ay) 2 = 0, 
ou 
(c — g 2 , gh —f, b — Idfaz — yx, /3x — ay) 2 = 0. 
Or, en écrivant x = 0, cette équation devient 
(c - g 2 , gh - af, b- Jrfaz, - ay) 2 = 0, 
c’est-à-dire 
by 2 + 2fyz + C£ 2 - (hy + gz) 2 = 0 ; 
nous avons ainsi, sur la droite x = 0, deux points indépendants de la position du point 
donné (a, /3, y), et qui ne sont plus les intersections de la conique par cette droite 
(autrement dit, ces points ne sont pas situés sur la conique); ces points sont en effet 
deux points quelconques sur cette droite. Il y a ainsi pour la conique aplatie pénultième 
de x? = 0 deux sommets situés à volonté sur la droite x = 0 (et qui ainsi ne sont pas 
situés sur la conique pénultième). 
33—2