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SUR LES COURBES APLATIES. 
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Je passe à un cas nouveau, celui de la courbe quartique pénultième de x 2 y 2 = 0 ; 
mais pour simplifier l’analyse, au lieu d’un point quelconque (a, /3, 7) je prends succes 
sivement les points (y = 0, z = 0) et (x = 0, y = 0). On conçoit, en effet, que s’il y a 
p sommets libres sur la droite x = 0, q sommets libres sur la droite y = 0, et r 
sommets fixes au point (æ=0, y = 0), alors les droites par le point donné {y— 0, ¿=0) 
seront les droites par les p points, plus la droite y = 0, q + r fois ; et de même les 
droites par * le point donné (x = 0, z = 0) seront les droites par les q points, plus la 
droite x = 0, p + r fois : de manière que le procédé donnera les nombres cherchés p, q, r. 
J’écris l’équation de la pénultième sous les deux formes 
x 4 . a 
+ 4« 3 (h, j\y, z) 
+ 6x 2 (1, p, m\y, z) 2 
+ 4x (k, q, r, g\y, z) 3 
+ (b, f l, i, c#y, zY = 0, 
y 4 , b 
+ V {h /&», ^ 
+ 6y®(l, q, Ï$X, z) 2 
+ 4y (k, p, r, l^x, zf 
+ (a, j, m, g, cQx, z) 4 = 0, 
où le coefficient de x 2 y 2 est = 6, et tous les autres coefficients sont des infiniment 
petits, pas nécessairement du même ordre. Je représente ces deux équations par 
(A, B, y 2 + G, D, E\x, 1) 4 = 0, (A', B', x 2 + C\ D', E’\y, 1) 4 =0 
respectivement. 
Cela étant, on obtient l’équation des tangentes par le point (y = 0, z = 0) en égalant 
à zéro le discriminant de la fonction quartique de «; et de même pour les tangentes 
par le point (x = 0, z — 0) : les deux équations seront 
0 = (y 2 + G) 4 . 81AE 
+ (y 2 + G) 3 (— 54AD 2 — o4<B 2 E) 
+ (y 2 + G) 2 (- 18 A 2 E 2 - 180 A B DE + S6B 2 D 2 ) 
+ .... 
0= (x 2 +C') 4 .8\A'E' 
+ .... 
En prenant pour le moment tous les coefficients = 0 1 , chaque équation contiendra un 
seul terme de l’ordre le plus bas O 2 , et en négligeant les autres termes, les équations 
deviendront simplement 
y 8 .AE= 0, a?.A'E' = 0; 
il y a ainsi sur la droite x = 0 quatre sommets libres donnés par l’équation E = 0 ; 
et de même sur la droite y = 0, quatre sommets libres donnés par l’équation E' = 0 ; 
donc quatre sommets fixes au point x = 0, y = 0. Les sommets libres sur les droites 
x = 0 et y = 0 sont les intersections de la quartique par ces deux droites respectivement.