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SUR LES COURBES APLATIES.
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Mais, au contraire, prenons b, f, l, i, c = O 2 , les autres coefficients étant = O 1 . On a
d’abord A, B, D — O 1 , E = O 2 ; la première équation se réduit à
2*1 Ay* (SEy 2 — 2D 2 ) = 0,
ce qui donne, sur la droite x = 0, six sommets libres déterminés par l’équation
3Ey 2 - 2D 2 = 0.
On a depuis A'= O 2 , B', D', E'= O 1 ; la seconde équation est donc
27E'afi (SA'x* - 2B' 2 ) = 0 ;
mais ici
E' = (a, j, m, g, c\x, z) 4 , = x (aie 3 + 4jx 2 z + Qmxz 2 + tyz 3 ),
à cause de c = O 2 ; et, de plus,
3A'a? — 2B' 1 — '3bx 2 — 2 (kx + fzf, = (3b — 2k 2 ) a?,
à cause de f = O 2 ; donc l’équation se réduit à
x 9 (aaf + 4jx 2 z + Qmxz 2 + tyz 3 ) = 0,
et il y a sur la droite y = 0, trois sommets libres déterminés par l’équation
ax 3 + 4tjx 2 z + Qmxz 2 + 4>gz 3 = 0.
Remarquons que la droite y = 0 rencontre la quartique dans les quatre points
donnés par l’équation E' = 0, c’est-à-dire un point infiniment près de (x = 0, y = 0) et
trois autres points, lesquels sont précisément les trois sommets libres sur la droite y = 0.
Il y a de plus trois sommets fixes au point (x = 0, y = 0).
Conclusion. Il y a ainsi une courbe quartique pénultième de a?y 2 = 0, avec neuf
sommets libres, trois sur l’une des deux droites (disons la droite y = 0) et qui sont
trois des intersections de la quartique par cette même droite (la quatrième intersection
étant infiniment près du point x = 0, y = 0), six situés à volonté sur l’autre droite
x = 0, et trois sommets fixes à l’intersection des deux droites.
On peut se figurer une telle courbe quartique : elle peut consister en trois ovales
aplaties plus une trigonoïde (savoir, figure fermée avec trois angles saillants et trois
angles réentrants) rétrécie ; l’une des ovales coïncide à peu près avec la droite y = 0,
les deux autres à peu près avec la droite x = 0 ; la trigonoïde entoure le point
x = 0, y = 0, de manière que les angles réentrants, très-approchés de ce point, soient
les trois sommets fixes : mais il n’est pas facile d’en faire un dessin.
Je considère le système des courbes quartiques, qui satisfont chacune aux (14—1=)13
conditions que voici : toucher deux droites données 1, 2 en des points donnés A, B ;
passer par deux points donnés C, D ; toucher sept droites données 3, 4, ..., 9. Prenons
y = 0 pour la droite AB, et x = 0 pour la droite CD : il y aura dans le système
une courbe quartique pénultième de ot?y 2 = 0, laquelle compte sept fois au moins ; cette
courbe pénultième est censée toucher les droites 1, 2 dans les points donnés A, B, et
l’une quelconque des sept droites à son intersection avec la droite y = 0(AB); les
autres six droites à leurs intersections avec la droite x = 0 (CD). Cette courbe pénul
tième entre donc dans la théorie des caractéristiques d’un tel système de courbes
quartiques.
