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SUR UNE SURFACE QUARTIQUE APLATIE. 
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sphère ayant son centre sur la droite 00', et coupant orthogonalement la sphère S, 
passe par le cercle dont il s’agit, disons le cercle L. On voit sans peine que chaque 
point du cercle L est situé sur la cyclide. Il y a donc sur la cyclide une série infinie 
single de cercles L qui correspondent un à une aux directrices de la surface focale ; il 
y a de même une série infinie single de cercles L' qui correspondent un à une aux 
génératrices de la surface focale. La cyclide est le lieu des cercles de l’une ou l’autre 
série ; chaque cercle de la première série coupe en deux points opposés chaque cercle 
de l’autre série, mais deux cercles de la même série ne se rencontrent pas, &c. 
Or, en supposant avec M. Casey que la surface focale se réduise à un cône, les 
deux séries de cercles se réduisent à une seule série de cercles L, dont chacun est 
situé sur la sphère, centre le sommet du cône, qui coupe orthogonalement la sphère 
S, disons la sphère T. On a sur la sphère T la série des cercles L, lesquels ont pour 
enveloppe une courbe sphérique, la sphéroquartique de M. Casey. Les points des 
différents cercles L ne remplissent pas la surface sphérique entière, mais seulement une 
partie de cette surface, limitée par la courbe sphéroquartique. Cela étant, on pourrait 
dire que la surface cyclide se réduit à la sphère T deux fois, mais il vaut mieux 
la considérer comme une cyclide aplatie ayant pour arête la courbe sphéroquartique. 
La sphéroquartique, considérée comme courbe sur une sphère T, est donnée (comme 
le remarque M. Casey) par une construction tout à fait analogue à celle pour la cyclide 
comme surface dans l’espace, savoir (en considérant toujours les courbes sphériques sur 
une même sphère), la sphéroquartique est l’enveloppe des cercles qui ont leurs centres 
sur une sphéro-conique et qui coupent orthogonalement un cercle fixe. Le cône, sommet 
le centre de la sphère, qui passe par la sphéroquartique, est de l’ordre 4, avec deux 
droites doubles (la classe est donc = 8) ; j’ajoute qu’il touche quatre fois la sphère-cône 
x 2 + y 2 + z- — 0, ayant le même sommet (*). 
M. Casey dit que le cône quartique a 16 droites focales: cela a besoin d’expli 
cation. Le cône quartique et le sphère-cône ont en commun 8x2=16 plans tangents, 
y compris les plans tangents selon les 4 droites de contact, chacun deux fois; hormis 
ceux-ci, il y a donc 8 plans tangents communs. L’intersection de deux quelconques 
de ces 8 plans est droite focale du cône quartique : donc |(8 x 7), = 28 droites focales. 
Mais je trouve que les 8 plans tangents forment deux systèmes de 4 plans chacun : 
les 4 points de l’un de ces systèmes coupent les 4 plans de l’autre système dans 
16 droites, lesquelles sont les droites focales de M. Casey; il y a de plus 6 + 6 
droites, dont chacune est l’intersection de deux plans du même système. Je n’ai pas 
cherché les distinctions qui doivent exister entre ces différents systèmes de droites 
focales. 
1 En général, en considérant une courbe quelconque sur une surface S, et un point O quelconque, les 
deux cônes, sommet O, dont l’un passe par la courbe et l’autre est circonscrit à la surface, se touchent 
partout où ils se rencontrent : autrement dit, ils n’ont que des droites d’intersection doubles ou de contact.