517] SUR LES SURFACES DIVISIBLES EN CARRÉS PAR LEURS COURBES &C. 265 
où H est fonction de h seulement ; et l’on trouve de même 
où K est fonction de k seulement ; donc en écrivant, comme à l’ordinaire, 
dx 2 + dy 2 + dz 2 = Edh 2 + 2 F dh dk-\- Gdk 2 , 
cette expression se réduit à 
dx 2 + dy 2 + dz 2 = 0 (H dh 2 + K dk 2 ), 
ce qui fait voir que la surface est divisible en carrés par les courbes 
h = const., k = const. 
Les équations donnent aussi 
dx dy dz 
dh ' dh ’ dh 
dx dy dz 
dk ’ dk ’ dk 
d 2 x d?y d?z 
dh dk ’ dh dk ’ dh dk 
et, cela étant, l’équation différentielle des courbes de courbure se réduit, comme je vais 
le montrer, à dhdk= 0 ; on a donc h = const., k = const., pour les équations des courbes 
de courbure de la surface. 
Pour cela, en considérant x, y, z comme des fonctions données de h, k, j’écris, 
comme à l’ordinaire, 
dx 
till/ / tv «A/ ^ tv *A/ 
dk = a ’ dh 2==<X ’ dhdfc = <X ’ 
et de même b, b\ /3, /3/3", et c, c', y, y, y" pour les coefficients différentiels de y et z 
respectivement. J’écris aussi 
A — bc'— b'c, B — ca! — c'a, C — ab' — a'b, 
E = a 2 + a' 2 + a" 2 , F = aa -f bb' + cc', G = a' 2 + b’ 2 + c' 2 . 
L’équation différentielle des courbes de courbure est 
dx, dy, dz = 0. 
A , B , C 
dA, dB, dC 
Le premier terme de ce déterminant est dx (B dC - G dB), savoir : 
(adh + a'dk) { B [(«/3' - bo! + b'a - a'/3) dh + (a(3" - bu" + b’a - a'¡3') dk] 
— C [(ca' — ay + a y — c'a) dh + (ca" — ay" + a'y — c'a' ) dk]}, 
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C. VIII.