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DE COURBURE ET SUR LA THÉORIE DE DUPIN. 
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On vérifie sans peine les équations fondamentales, en prenant ® = h — k, 
— (c — a) (a — b) x 2 = a (a + h) (a 4- k), 
— (a —b) (b —c)y i = b (b 4- h) (b + k), 
— (b—c)(c—a)z 2 = c(c + h) (c + k) ; 
ce qui donne les courbes de courbure de l’ellipsoïde ^ + ~ = 1 5 l’ellipsoïde étant, 
comme on sait, une surface divisible en carrés par des courbes de courbure ; mais je 
n’ai pas encore cherché d’autres solutions. 
Je remarque que l’équation pour x peut s’écrire sous la forme 
donc, en posant 
on trouve 
ce qui donne 
di 1 dx\ d / 1 dx\ _ 
dh V® dJc) + dîc dh) ~ ° ’ 
dii dx\ _ d /1 dx\ _ d 2 fl 
dh l® dk)~dJc{ëdh) == Wdk’ 
dx „ dd dx „ dd 
= (h) 
dh dh’ dk dk’ 
d /„ dd 
(H) 
dk[ dh 
+ 
dh 
® 
dd 
dk 
= 0, 
équation pour iî de la même forme que celle pour x. 
On déduit une démonstration très-simple du théorème de Dupin. En considérant 
comme auparavant (x, y, z) comme des fonctions données de (h, k), le point (x, y, z) 
sera situé sur une surface, et les conditions pour que les courbes de courbure soient 
h — const., k = const. seront 
dx dx 
dh dïc + 
dydy 
dh dk 
dz dz 
dh dk 
dx 
dy 
dz 
dh ’ 
dh ’ 
dh 
dx 
dy 
dz 
dk ’ 
dk ’ 
dk 
d 2 x 
d 2 y 
d 2 z 
dh dk ’ 
dhdk ’ 
dh dk 
Cela étant, en introduisant un troisième paramètre l, soient h, k, l des fonctions 
données de (x, y, z), ou réciproquement (x, y, z) des fonctions données de (h, k, 1). On 
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