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SUR LES SURFACES DIVISIBLES EN CARRJÉS PAR LEURS COURBES &C. [517 
a ici les trois systèmes de surfaces h = const., k = const., I = const., et les conditions 
pour que ces surfaces se coupent orthogonalement peuvent s’écrire sous la forme 
dx dx dy dy dz dz 
T Tl + T Tl + Tk T = °’ 
dx dx dy dy dz dz_ 
Tl T + Tl T + T Wi 
dx dx dy dy dz dz_ 
dh dk dh dk+ dh dk 
On a donc 
dx dy dz _ dy dz dz dy dz dx dx dy dx dy dy dz 
dl ' dl dl dh dk dh dk ' dh dk dh dk ' dh dk dh ' dh ' 
Pour abréger, j’écris 
dx 
dh 
dx 
Te 
, d V 
dh 
dy 
dk 
dz 
+ T 
dz 
dk 
= [h.k], 
et de même 
dx 
Th 
d 2 x 
dkdl 
+ dy d?y 
dh dkdl 
dz d 2 z 
+ T dkdl = 
= [h. kl], 
Les conditions données sont 
ainsi 
[k.l] = 0, [l.h]= 0, [h.k] = 0; 
en différentiant ces équations par rapport à h, k, l respectivement, on obtient 
\lc .lh] + [l. hk] = 0, 
[l . kh] + [h. kl] = 0, 
[h. kl] + [k . Ih] = 0 ; 
donc 
[h.kl] = 0, [k.lh] = 0, [l. kh] = 0. 
Mais l’équation [h . k] = 0 et l’équation [l. hk] = 0, en substituant dans celle-ci les valeurs 
de ^2, -Jj, -jj, sont précisément les conditions pour que la surface l = const. soit 
coupée par les autres surfaces selon ses courbes de courbure : donc le théorème.