270 SUR LA CONDITION POUR QU’UNE FAMILLE DE SURFACES DONNÉES [518 
3. Soient (X, Y, Z) les fonctions dérivées de p du premier ordre ; (a, b, c, f, g, h) 
celles du second ordre ; (a, b, c, f, g, h ? i, j, k, l) celles du troisième ordre, savoir : 
A = 2(Zh-Yg), F =X(c-h)+Yh-Zg, 
B = 2(Xf-Zh), G = F (a - c) + Zi - Xh, 
C = 2(Yg-XÎ), H=Z{h-a) + Xg-Y{, 
valeurs qui satisfont aux équations 
A + B + C = 0 et (A, B, C, F, G, H%X, Y, Z)* = 0. 
Alors les tangentes PT lt PT 2 sont données par les équations 
(A, B, C, F, G, H][æ, y, zf = 0, 
Xx + Yy + Zz = 0, 
«t en partant de ces équations, mais en supposant que pour le point P les valeurs 
de X, Y soient X = 0, Y = 0, M. Levy obtient comme condition de l’intersection dont 
il s’agit 
ou, ce qui est la même chose 
2fg (a - b) + 2h (f 2 -g 2 )-Z [(/-j) h + l (a — b)] = 0 ; 
savoir : cette équation est ce que devient l’équation cherchée du troisième ordre en y 
écrivant X = 0, Y = 0. 
4. Je passe à la recherche de l’équation générale ; pour cela (X, Y, Z) dénotant 
comme auparavant, nous pouvons considérer ces quantités comme les coordonnées 
(mesurées du point P comme origine) d’un point sur la normale PT; soient de même 
X lf Y lt les coordonnées d’un point sur la tangente PT, et X 2t Y 2 , Z 2 les 
coordonnées d’un point sur la tangente PT 2 . Il s’agit seulement des valeurs relatives 
de ces coordonnées; et celles de X u Y,, Z, et X 2 , Y 2 , Z 2 sont les valeurs de (x, y, z), 
données par les équations 
(A, B, C, F, G, H^x, y, zf— 0, 
Xx + Yy -f Zz = 0.