518] PUISSE FAIRE PARTIE ü’üN SYSTÈME ORTHOGONAL. 271 
Ces équations impliquent X,X 2 + F,F 2 + Z X Z 2 = 0, et en se rappelant une équation 
déjà mentionnée, on a le système 
(A,...IX, Y, Z y - 0, 
(A,...$X„ F„ Z x ) 2 = 0, 
(A, ...$X 2 , Y 2 , Z 2 ) 2 = 0, 
X,X 2 + F,F 2 + Z x Z 2 = 0, 
XX, + FF, + ZZ X = 0, 
XX, + FF 2 + ZZ 2 = 0. 
L’origine étant quelconque, prenons (x, y, z) pour coordonnées de P, et x + Sx, y + Sy, z + Sz 
pour coordonnées de P' ; nous avons Sx : Sy : Sz = X : Y : Z ; et comme il ne s’agit 
que des valeurs relatives, nous pouvons omettre un facteur infinitésimal commun, et 
écrire simplement Sx, Sy, Sz = X, Y, Z. De même, en supposant qu’une fonction quel 
conque u de (x, y, z) devient u + Su, en passant du point P au point P', la valeur 
ou, ce qui est la même chose, nous aurons 
. » ^ du du „du 
de ou sera A -7—h i -7—I- Z -7-, 
dx dy dz 
d d d 
S = X -7- + F-7- + Z -7-. Dans tout ce qui suit, 8 aura cette signification. 
CtX (IV CL Z 
5. Cela étant, si pour un moment nous prenons f, y, Ç pour coordonnées courantes, 
et 6 pour un paramètre arbitraire, les équations de PT seront 
£ = æ + 0X„ y = y + 0Y x , Ç=z + 0Z x , 
et si cette droite rencontre PP,, alors en prenant f, y, Ç pour les coordonnées du 
point d’intersection, nous aurons 0 = Sx -f X x 80 -f 0SX x ,... : ou en éliminant 80 et 0, 
ou, ce qui est la même chose, 
0 = 
Sx, 
x„ 
SX, 
3y, 
Y x , 
3F, 
Sz, 
z x , 
sz x 
0 = 
X, 
X„ 
SX, 
Y, 
F,, 
3F, 
z, 
z lt 
sz x 
YZ X 
— ZY X 
: ZX x 
Mais nous avons X 2 : Y 2 
équation devient X 2 SX, -f F 2 SF, + Z 2 SZ X = 0. Or nous avons S (X,X 2 + F,F 2 + Z X Z 2 ) = 0 ; 
l’équation trouvée peut donc s’écrire sous la forme plus symétrique 
X 2 SX, + F S F, + Z 2 SZ X - (X,SX 2 + F,SF 2 + Z X SZ 2 ) = 0, 
équation qui exprime la condition pour l’intersection des tangentes PP,, P T x (ou 
PP 2 , P'T').