518] PUISSE FAIRE PARTIE d’üN SYSTÈME ORTHOGONAL. 273 
et ainsi l’équation dont il s’agit 
XMl + Y 2 8Y, + Z 2 8Z X - (« + F a 8F 2 + Z,8Z 2 ) = 0. 
On ne savait pas auparavant la signification géométrique de cette équation. 
7. Dans la question actuelle, partant de cette équation, je rappelle que les valeurs 
de X, 1, Z, X 1} Y 1} Z 1 sont celles de (x, y, z) données par les équations 
{A, B, G, F, G, H^sc, y, z) 2 = 0, Xx + Yy + Zz = 0. 
En supposant que ces équations donnent 
X x : Y 1 : Z, = U + U' : V+V' : W+W', 
X 2 : Y 2 : Z 2 — U-U' : V-V' : W- W\ 
la condition devient 
U8U'+VSV'+ W8W'-(U'8U+ V'8V+ W'8W) = 0. 
8. Pour effectuer la réduction de cette formule, nous avons besoin de plusieurs 
formules subsidiaires. J’écris 
(.BG-F 2 , GA-G 2 , AB-H 2 , GH —AF, HF-BG, FG-CH\X, Y, Z) 2 
= (2l, 33, G, %, ®, «X, F, Zf = -(/>, 
et je dénote par (a), (b), (c), (f), (g), (h) les coefficients de X 2 ,... dans la fonction 
(A, B, G, F, G, H\vY-/iZ, \Z-vX, yX-XYf, 
savoir, j’écris 
(a) = BZ 2 +GY 2 -2FYZ, 
(b) = CX 2 +AZ 2 -2GZX, 
(c) = A Y 2 +BX 2 -2HXY, 
(f )=-AYZ-FX 2 +GXY+HXZ, 
(g) = - BZX + FXY— G Y 2 +HYZ, 
(h) = - GXY+ FYZ + GYZ — HZ 2 , 
où je remarque qu’en vertu des valeurs de A,... nous avons 
(a) + (b) + (c) = 0. 
Cela étant, nous avons les identités 
[(a), (h), (g)] (Z, F, Z) = 0, 
[(h), (b), (f)](Z, F, Z) = 0, 
[(g), (f), (c)](Z, F, Z) = 0, 
[(b) (c) — (f) 2 , (c)(a)-(g) 2 , (a) (b) — (h) 2 , (g) (h) - (a) (f), (h) (f) - (b) (g), (f) (g) - (c) (h)] 
- - (Z 2 , F 2 , Z 2 , YZ, ZX, XY)<f>, 
C. VIII. 
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