274 SUR LA CONDITION POUR QU’üNE FAMILLE DE SURFACES DONNÉES [518 
savoir, (b) (c) — (f) a = — X 2 (f),.... De plus 
(A, H, G) [(a), (h), (g)] = — X (SIX + <£)F + ®Z) — cf>, 
(H, B, F) [(a), (h), (g)] = - F(21Z + £F + ®Z), 
(G, F, G) [(a), (h), ( g )]=-Z($LX + $Y+®Z)> 
(A, H, G) [(h), (b), (f)] = -Z(£Z + 93Y + %Z), 
{H, B, Z)[(h), (b), (f)] = -F(P + SBF + ^)-f 
(G, F, G) [(h), (b), (f)] = -Z($X + ®F+8Z), 
(4, J?, G)[(g), (f), ( c )]=-Z(@Z + gF + gF), 
№ 5, Z) [(g), (f ), (c) ] = - F(@Z + gF + ®Z), 
(G 1 , F, (7) [(g), (f ), (c)] = — Z (®Z + gF + <SF) - cf> ; 
aussi 
Z (a) + B (b) + G (c) + 2Z(f) + 2G (g) + 2H (h) + 2</> = 0. 
Multipliant cette dernière équation par l’un quelconque des coefficients (a),..., et rédui 
sant, on obtient six équations; mais je forme seulement celle qui se dérive de (g), 
savoir, nous avons 
(g) [A (a) + B (b) + C (c) + 2F (f ) + 2G (g) + 2H (h)] 
+ 2(j> (- BZX + FXY — GY 2 + HYZ) = 0. 
Ici la seconde ligne est égale à 
2B [(f) (h) - (b) (g)] - 2Z[(f) (g) - (c) (h)] + 2G [(c) (a) - (gfl - 2H [(g) (h) - (a) (f)], 
et l’équation est 
A (a) (g) + B [2 (h) (f ) - (b) (g)] + G (c) (g) + 2F (c) (h) + 2G (c) (a) + 2H (a) (f) = 0. 
Des équations (g) (h) — (a) (f) = — YZ<f), (h) (f) — (b) (g) = — ZXÿ, multipliant par 
— Z, — F et ajoutant, nous obtenons — (h) [(g)Z + (f) F]-f (a) (f) Z + (b) (g) F= 2ZFZ, 
(a) (f) Z + (b) (g) F + (c) (f) Z = 2XYZ. 
9. Je reviens à la question principale. A moins de se servir de quantités 
arbitraires qui rendraient les formules plus complexes, il n’y a pas d’expression 
symétrique pour les valeurs de X 1 : Y x : Z x et Z 2 : F, : Z 2 : et ainsi j’écris 
Z, : F, : F, = (a) : (h) + Z</j : (g)- Fv>, 
X, : Y, : Z,-( a) : (h)-ZV<f> : (g) + Y V$, 
et la condition devient 
[(h) SZ - ZB (h) - (g) S F+ FS (g)] Vÿ + [(h) F — (g) F] 8 V* = 0, 
1 
2 
2 [(h) 8Z-Z8 (h) - (g) SF+ FS (g)] cf> + [(h)Z-(g) Y] 8<f> = 0, 
équation qui contient, comme nous le verrons, le facteur (a) ; et, en omettant ce 
facteur, l’équation deviendra symétrique. 
ou, puisque 8 <f>