278 SUR LA CONDITION POUR QU’UNE FAMILLE DE SURFACES DONNÉES [518 
Mais nous avons SX = gZ, SY—iZ, 8Z=cZ, et, de plus, 
SA = 2SZh -2gSY= 21Z 2 + 2 (eh - fg) Z, 
SB = 2îSX - 2SZ\i = - 21Z- - 2 (ch - fg) X, 
SH = — SZ(a — b) + gSX — fô Y= (f —j) Z 2 + (— ac -f bc — f 2 4- g 2 ) Z; 
l’équation est donc 
4 fg (a — b) + 4 (f 2 — g 2 ) h — (a — b) [4IZ + 4 (ch — fg)] — 4h [— c (a — b) — (f 2 — g 2 ) + {f—j) Z] = 0, 
2 fg (a - b) + 2h (f 2 -g 2 )-Z [(/-j) h +1 (a — b)] = 0, 
ce qui s’accorde avec le résultat cité. 
14. En changeant la signification de X, Y, Z, écrivons p = X + Y + Z, où X, Y, Z 
dénotent à présent des fonctions de x, y, z respectivement ; en dénotant par X', Y', Z' 
les fonctions dérivées de celles-ci, les fonctions premièrement représentées par X, Y, Z 
seront X', Y', Z'. Je cherche, au moyen de l’équation générale, la condition pour que 
la famille p = X -t- F + Z puisse faire partie d’un système orthogonal. 
Dénotons par X', X", X"' les dérivées de X, et de même celles de Y et Z, et 
écrivons, pour abréger, oc, ¡3, y = Y" — Z", Z" — X", X" — Y", nous avons 
(a, b, c, f, g, h) = (X", Y", Z", 0, 0, 0), 
et de là 
(A, B, G, F, G, H) = (0, 0, 0, -ocX\ -/3F, - yZ’\ 
et, de plus, 
[(a), (b), (c), (f), (g), (h)] = [2aX'Y'Z', 2/3X'YZ', 2yXTZ', 
X'( aX' 2 — ¡3 Y' 2 — y Z' 2 ), 
Y' (— aX' 2 + /3 Y' 2 — y Z' 2 ), 
Z' (- aX' 2 - /3 F 2 + yZ' 2 )]. 
Nous avons aussi 
(SX', S F, 8Z') = (X'X", Y'Y", Z'Z"), 
(SA , SB , SG ) = (0, 0, 0), 
(8F , SG, SH) = [X'(-ocX" + Z'Z" - Y'Y'"), 
F (- /3 F' + X'X"' - Z'Z " ), 
Z' (- yZ" + FF" - X'X"')]. 
15. Donc, dans l’équation générale, la première ligne est 
2 [- aX'. 2 X'Y'Z' (/3 - y) + y Y'Z' (- ocX' 2 + f3Y' 2 - y Z' 2 ) 
- &TZ' (- ocX' 2 - /3 Y' 2 + yZ' 2 )] X'X", 
c^st-à-dirô 
2 X'Y'Z'. X" [- 2oc (/3 - y) X' 2 + y (- aX' 2 + /3 F 2 - y Z' 2 ) 
- P (- ocX' 2 - /3 F 2 + y Z' 2 )]