518] PUISSE FAIRE PARTIE d’üN SYSTÈME ORTHOGONAL. 279 
ou, ce qui est la même chose, 
2X'Y'Z'. «X" [(y - /3) X'* - /3 F 2 + yF 2 ], 
et la somme des premières trois lignes sera aussi = 2X'F'F multiplié par 
aX" [(y - /3) X' 2 - /3 F 2 + yF 2 ] 
+ /3 F [aX' 2 4- (a - y) F' 2 - yF 2 ] 
+ yF' [- aX' 2 + /3 F 2 + (/3 - ce) F 2 ], 
savoir dans ce second facteur le coefficient de ocX' 2 est X" (y — /3) + /3 F" — yF', = — 2/3y, 
et de même les coefficients de /3 F' 2 et y F 2 sont - 2y a, — 2a/3 respectivement, donc 
le terme entier, ou première partie de l’équation est 
4X' FF (X' 2 + F 2 4- F' 2 ) (- a/3y). 
Les termes en SX, Si?, S(7 s’évanouissent, et il ne reste que les termes en 
8F, 8G, 8H qui forment la seconde partie de l’équation. Le premier de ceux-ci est 
[X'. 2 (/3 - y) X'Y'Z' - Y'Z' (- aX' 2 - /3F' 2 + y F 2 ) 
+ F'F (- aX' 2 + /3 F' 2 - yF' 2 )] x X' (- X''a + Z'Z " - Y'Y'"), 
c’est-à-dire 
2X'F'F [(/3 - y) X' 2 + /3F' 2 - yF 2 ] (- X"a + FF" - FF"). 
On a donc 2X'F'F multiplié par 
[(/3 - y) X' 2 + /3F' 2 - yF 2 ] (- X"a + FF" - F'F") 
-t- [- aX' 2 + (y - a) F' 2 + yF 2 J (- F"/3 + X'X'" - FF") 
4- |>X' 2 -/3F' 2 + (a- /3) F 2 ] (- F'y + FF"' - X'X'"), 
où dans le second facteur nous avons d’abord le terme — 2a/3y x (X' 2 4-F' 2 4-F 2 ) et 
puis le terme - 2 («X'X'" 4- /3 F F" + yFF") x (X' 2 4- F 2 + F 2 ). 
La seconde partie est donc 
4X'F'F (X' 2 -f F' 2 4- Z' 2 ) [- a/3y - («X'X"' 4- /3 F F" + yFF")] 
et en réunissant les deux parties et en omettant le facteur — 4X'F'F x (X' 2 4 F' 2 4-F 2 ), 
l’équation devient 
2oc/3y 4- aX'X'" 4- /3 F F" + yFF" = 0, 
savoir : 
2 ( F" - F') (F' - X ") (X " - F") 4- ( F" - Z") X'X'" + (X" - X") F F" + (X" - F") FF" = 0, 
équation trouvée par M. Bouquet dans sa “ Note sur les surfaces orthogonales 
{Journal de M. Liouville, t. XL, pp. 446—450, 1846), et reproduite par M. Serret dans 
son “Mémoire sur les surfaces orthogonales” (Journal de M. Liouville, t. xii., pp. 241 254, 
1847).