280 SUR LA CONDITION POUR QU’UNE FAMILLE DE SURFACES DONNEES [518
[Pp. 324—330.]
En considérant une famille orthogonale (savoir : une famille de surfaces qui fait
partie d’un système orthogonal), on peut se proposer la question : Etant donnée une
surface de la famille, trouver de la manière la plus générale la famille. J’essaye de
résoudre cette question en développant les trois coordonnées selon les puissances d’un
paramètre ; et, quoique je n’aie encore calculé que les trois premiers termes des trois
développements, les résultats me paraissent assez intéressants pour les soumettre aux
géomètres.
On peut, pour la surface donnée, considérer les coordonnées x, y, z d’un point
quelconque de la surface comme des fonctions déterminées de deux paramètres p, q.
Si, de plus, ces paramètres sont tels, que les équations des deux systèmes de courbes
de courbure soient p = const., q = const. respectivement, alors (en écrivant pour abréger
dx dx dix dix dix
dp~ Xu dq~ X2 ’ dq? = æ3 ’ dpdq ~~ Xi> df = X *’
fonctions de p, q, seront telles, que
+ yiy» + Zj2 t = 0,
y>
considérées
X x
Vi
¿i
= 0.
x 2
V2
x 4
3/4
¿4
J’écris ici et dans la suite X, Y, Z = y x z 2 — y 2 z x , z x x 2 — z 2 x x , x x y 2 — x 2 y x . On a donc
identiquement
Xx x + Yy x 4- Zz x = 0,
Xx 2 + Yy 2 + Zz 2 = 0,
et les deux équations mentionnées sont
x x x 2 + y x y 2 + z x z 2 = 0,
Xx 4 + Yy x + Zz 4 = 0.
Je m’arrête pour remarquer que la dernière équation, dans sa forme originale,
peut être remplacée par trois équations de la forme x x + Ax x + Bx 2 = 0, et qu’en ajoutant
les trois équations multipliées par x x , y x , z x respectivement, et aussi multipliées par
x 2 , y 2 , z 2 respectivement, on obtient les valeurs de A, B, exprimées en termes de
E = x x ? - + 7/i 2 + z x et G — xi + yi + zi
(E, G de Gauss), et que l’on trouve de là
d 2 x 1 dE dx 1 dG dx
dp dq E dq dp G dp dq ’
avec les équations semblables en y et Ces équations sont, en effet, les équations
(10 bis) de Lamé, “Mémoire sur les coordonnées curvilignes” (Liouville, t. y. 1840, p. 322).
