518] 
PUISSE FAIRE PARTIE D’UN SYSTÈME ORTHOGONAL. 
281 
Je suppose que les surfaces de la famille dépendent du paramètre r, lequel pour 
la surface donnée se réduit à r = 0. Par le point (p, q) de la surface donnée on 
peut mener une trajectoire orthogonale aux différentes surfaces de la famille; les 
coordonnées £, y, Ç d’un point quelconque sur cette courbe seront des fonctions de 
p, q, r, lesquelles, pour r — 0, se réduisent à x, y, z respectivement; et j’écris 
| = x + ar + dr 2 + ..., 
y = y + br + er 2 4- ..., 
Ç = 2 + cr + fr 2 + ..., 
où a, b, c, d, e, f, ... sont des fonctions inconnues de p et q. 
Pour exprimer que la courbe coupe orthogonalement les différentes surfaces de la 
famille, écrivons pour abréger 
ViÇz - *7sSi = X + Ar + Dr 2 + ..., X = y x z 2 - y^z x , 
&& - £*& = Y + Br 4- Er 2 + ..., A = y x c 2 - y 2 c x + b x z 2 - b^ x , 
Ç1V2 ~ Ç2V1 = z + Gr 4- Fr 2 + ..., 
^où comme pour x, y, z^j. La condition cherchée est 
X + Ar 4- Dr 2 -\- ... _ Y + Br 4- Er 2 4- ... _ Z+ Cr + Fr 2 + ... 
a+'2dr + ... b + 2er+... ~~ c + 2fr+... ’ 
laquelle doit être satisfaite pour une valeur quelconque de r; on a donc 
(1) 
X Y _ Z 
a b c ’ 
A 2dX _B 2eY_C 2fZ 
a a 2 b b 2 ce 2 ’ 
savoir, les équations (1) contiennent (a, b, c), les équations (2) contiennent de plus 
(d, e, f), et ainsi de suite. 
Pour qu’il y ait un système orthogonal, il faut et il suffit que l’on ait 
£1^2 + V1V2 + Ç1Ç2 = 0, 
pour toute valeur de r; on aura donc 
[0] x x x 2 + y x y 2 4- zys % = 0, 
[1] x x a 2 + x 2 a x + y x b 2 4- y A + z x c 2 + z 2 c x = 0, 
[2] x x d 2 4- x 2 d x + y x e 2 + y 2 6 x 4~ z x f 2 4- z 2 f x 4- a x a 2 4- b x b 2 4" c x c 2 = 0, 
savoir, l’équation [0] est satisfaite d’elle-même ; l'équation [1] contient (a, b, c), l’équation 
[2] contient de plus (d, e, f), et ainsi de suite. 
C. VIII. 
36