518] PUISSE FAIRE PARTIE ü’UN SYSTÈME ORTHOGONAL. 283 
Passons aux équations (2), [2]. Substituant dans (2) les valeurs de (a, b, c), ces 
équations deviennent 
A _ 2d _ J? _ 2e _ C_ _ 2/ 
\X XX ~ X F XŸ~\Z~ XZ ' 
On y satisfait en écrivant 
2d, 2e, 2f=X(0X + A), X(0Y+B), \(0Z+C), 
où 0 est fonction de (p, q) ; en substituant ces valeurs dans l’équation [2], la fonction 
0 disparaît d’elle-même; mais on obtient pour X une équation linéaire entre X, \ lt X 2 
et X 4 , laquelle est ainsi une équation à différences partielles du second ordre, et, cela 
étant, on a pour d, e, f les expressions mentionnées, qui contiennent la fonction 6, 
fonction qui n’est pas déterminée par les équations (2), [2]. 
L’équation [2], sous la forme abrégée, est 
x x d 2 + x 2 d x -f a x a 2 = 0, 
c’est-à-dire 
x x [X (OX + A )] 2 + x 2 [X (OX + -d.)]i -f- 2<z 1 cî 2 = 0, 
ou, ce qui est la même chose, 
X (x x (0X + J) 2 d* oc 2 (OX -f- -d-)i] -f- X.¡x x (OX + A) -f- \ 1 x 2 (OX -f- A') -4- 2ujCi 2 = 0. 
Les termes en 0 sont 
X [x x (OX» + 0oX) + x 2 (0X x + 0 x X)\ + X 2 0x x X -f X x 0x 2 X, 
qui s’évanouissent d’eux-mêmes ; l’équation se réduit donc à 
X (A 2 x x + A x x 2 ) + X2J.iT! -f XjAx 2 -f- 2a x a 2 = 0, 
ou, en substituant la valeur de a x a 2 . 
X (A^c x + A x x^} + X 2 J#! + XjAx 2 + 2 (XX) x (XX) 2 = 0 ; 
on a 
(XX\ (\X) 2 — (XX x -f XjX) (\X 2 + X 2 X), = X 2 X x X 2 + W 2 XX l + \X x XX 2 + X^X’, 
et l’on trouve sans peine Ax l = — a 1 X, Ax 2 = — a 2 X, et de là 
Ax x = — (XX)! X, = — X1X 2 — XXXj, 
Ax 2 = — (XX) 2 X, — — X 2 X 2 — XXX 2 . * 
Substituant ces valeurs, l’équation entière contiendra le facteur X, et en l’écartant, elle 
devient 
J^! -f- A x x 2 -f- X 2 XX x + X^x, + 2XXjX 2 = 0. 
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