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NOTE SUE, UNE FORMULE D’iNTÉGRATION INDÉFINIE. 
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Pour démontrer la formule, j’écris 
u = x~ m (A 4- Bx + Cx- 4-.... 4- Kx e ~ l ), 
et aussi pour abréger 
X = (x + pyn+n-e+i ( æ + p + 
ce qui donne 
(« +f .nf+,p+g) = +î>)" ,+ “- 9 +p+?)-“-• 
L’équation à vérifier est donc 
^ _ /* X (a; + efcc 
J x m+l (x 4- p) (x +p 4- <?) ’ 
ou, en différentiant et divisant par X, 
X' , (■x + g) 9 
X U 1 x m+1 {x 4- p) {x 4 p 4- q) ’ 
ou enfin 
/ O + qy 
[(ni 4- n — 6 + 1) (x 4- p + q) — n (x + p)] u + (x +p) (x + p + q) u' = 
iÂj 
où u' dénote ^. Il ne s’agit donc que d’exprimer que cette équation ait une intégrale 
u — x~ m (A 4- Bx + Gx 2 4 ... 4- Kx e ~ l ). 
En supposant que cela soit ainsi, et en effectuant la substitution, les termes en 
x~ m+e se détruisent, et l’on obtient une équation qui contient des termes en x~ m ~ x , 
x~ m ,..., x~ m+6 ~ 1 , savoir (#4-1) termes. On a ainsi, entre les 6 coefficients A, B, C,..., 
K un système de (6 +1) équations linéaires, ce qui implique une condition entre les 
constantes m, n, p, q ; mais, cette condition ^satisfaite, les équations se réduisent à 0 
équations indépendantes, et les coefficients seront ainsi déterminés. 
Par exemple, soit 6 = 2 ; l’équation différentielle est 
[m — I p -F m 4 n — 1 q -4 ni — 1 x] u 4- [p 2 4- pq + x (2p + q) + a,' 2 ] u = x~ m ~ 1 (q 4- x) 2 , 
laquelle doit être satisfaite par n = Ax~ m + Bx~ m+1 . Cela donne 
ÿQ ÿQ 'iïb ,'jß—îü-pl fj.—WÎ.+2 
— ni (p- + pq) A, 
~T 
(m — 1 p -f m + n — 1 q) A, (m — 1 p + ni 4- n — 1 q) B, 
„ , (m — 1) A, (m — 1) B 
— (m — 1) (p 2 4- pq) B, 
-m(2p + q)A, — (m — 1) (2p + q) B, 
„ , — niA, — (ni — 1) B 
2 q 
-1 , 
= 0,