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612] 
NOTE SUR UNE FORMULE D INTEGRATION INDEFINIE. 
503 
et ainsi cle suite. Les notations ([nî\p — \n\ q) 1 , ([m] p — \n\ q) 2 ,... ont des significations 
semblables à celles de ([m] p 2 + [??.] g 2 ) 1 , ([m] p 2 + [n] q 2 ) 2 , ..., auparavant expliquées. On a, 
par exemple, 
([m] p — [a] q) 2 = [mfp 2 — 2 [m] 1 [n] 1 pq + [»]- q 2 . 
Considérons, par exemple, le deuxième déterminant : ceci contient trois termes en 
1, 2q, q 2 respectivement ; le premier terme est 
1 . (m - 1) (p 2 + pq) . m (jf + pq), 
[m] 2 p 2 (p 4- q) 2 ; 
2q . — m (p 2 + pq) [(m — 1 )p — nq], 
2 [m] 1 p (p + q)q ([m — 1] p - [»] q) 1 ; 
c’est-à-dire 
le deuxième terme est 
c’est-à-dire 
le troisième terme est 
q' 2 [(m — 1 p — nq) (m+lp — n — 1 q) — (m — 1) (p 2 +pq)], 
q 2 [(m 2 — rn)p 2 — 2mnpq + (n 2 — n) q 2 } = q 2 ([m] p — [/?.] q) 2 . 
c’est-à-dire 
Et de même le troisième déterminant est composé de quatre termes en 1, 3q, %(f, q 3 
respectivement, lesquels sont les quatre termes de la première expression transformée ; 
et ainsi pour le quatrième déterminant, etc. Au moyen de ces premières transformées, 
on obtient sans peine les expressions finales ( [m] p 2 + [n] q 2 ) 1 , ( [m] p 2 -f [A] q 2 ) 2 , .... 
En écrivant z — ^ (p + q) au lieu de x, et puis 2 (p + q) = a, % {p — q) = a, la formule 
devient 
j'(z — a) e (z + a) m+n ~ 6 d6 
J (z- a)™* 1 (z + a) n+1 ’ 
et la valeur algébrique 
= (z + a) m+n ~ 0 ~ 1 (z — a)~ m (z -F a)~ n (A' + B'z + ... + K'z 6 ~ ] ), 
pourvu qu’on ait entre les quantités m, n, a, a la relation 
{[m] (a + a) 2 + [%] (a - a) 2 ) 6 = 0. 
En écrivant 8 = m, on a la formule de MM. Serret et Liouville, laquelle, en y 
écrivant ( a ~t a ï — ç e t ^ ot ^ =Ç— 1, peut s’écrire sous la forme {[m] £ + [w] (£ — l)} fl = 0. 
"TÎtCC “T CtCt 
Je remarque que l’équation en t 11e donne pas toujours pour £ des valeurs réelles, 
positives et plus grandes que l’unité : par exemple, pour 0=1, on a f = * va l em ‘ 
qui 11e peut ^pas satisfaire à ces conditions. Je n’ai pas cherché dans quel cas ces 
conditions (qui ont rapport à l’application des formules à la représentation des fonctions 
elliptiques) subsistent.