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708. 
NOTE SUR LA THÉORIE DES COURBES DE L’ESPACE. 
[From the Compte Rendu de VAssociation Française pour VAvancement des Sciences (1880), 
pp. 135—139.] 
En considérant dans l’espace une courbe d’espèce donnée, déterminée au moyen 
d’un nombre suffisant de points, la courbe n’est pas déterminée uniquement ; mais on 
a par les points un certain nombre de telles courbes. Par exemple, la courbe unicursale 
d’ordre 2p dépend, comme on voit sans peine, de 8p constantes et sera ainsi 
déterminée par 4p points (le cas p — 1 est une exception) : on ne connaît pas, je 
pense, le nombre des courbes par les 4p points ; mais pour le cas particulier p = 2 
(c’est-à-dire pour une courbe quartique de seconde espèce, ou autrement dit, une 
courbe excubo-quartique) ce nombre est = 4 : théorème démontré par moi depuis 
longtemps par des considérations géométriques. (Voir Salmon, Geometry of three 
dimensions, 3 e éd. 1874, p. 319.) Ce n’est que dernièrement que j’ai considéré la 
question analytique, de trouver les équations d’une courbe excubo-quartique qui passe 
par 8 points donnés ; et même j’ai pris pour les 8 points une disposition qui n’est 
pas tout à fait générale : l’investigation elle-même, et la forme du résultat, m’ont 
paru assez intéressantes pour que je les soumette à l’Association. 
En considérant sur une courbe excubo-quartique 4 points donnés, le plan passant 
par 3 quelconques de ces points rencontre la courbe dans un seul point ; et l’on 
obtient ainsi encore 4 points sur la courbe : voilà mon système de 8 points donnés, 
savoir en partant de 4 points quelconques, je prends un point quelconque dans chacun 
des plans qui passent par 3 de ces points, et j’obtiens ainsi les autres 4 points. Et 
par un tel système de 8 points, je cherche à faire passer une courbe de l’espèce dont 
il s’agit. 
En prenant x = 0, y = 0, z — 0, w = 0, pour les équations des plans du tétraèdre 
formé par les 4 premiers points, les coordonnées de ces points seront (1, 0, 0, 0), 
(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) : et pour les coordonnées des 4 autres points, 
je prends (0, y x , z u w 4 ), (x 2 , 0, s 2 , w 2 ), (x 3 , y 3 , 0, w s ), (x 4 , y t , z 4 , 0). 
C. XI. 
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