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NOTE SUR LA THÉORIE DES COURBES DE L’ESPACE. 
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et de même 
XY 2 — X 2 Y= hc 2 (f 2 a 2 — h 2 c 2 CT + g 2 b 2 œr/c), 
X Fi — Xj Y = f 2 a (g 2 b 2 — f-a'-p + h 2 c-Wp). 
Donc 
a Xv gb2 (h2c2 “ + 
b 
H— /ip hc 2 (f 2 a 2 — h 2 c 2 tar -f- g 2 b 2 ar/c) 
+ f 2 a (g 2 b 2 — f 2 a y + h 2 c 2 CTp) = 0, 
ou enfin en multipliant par — av, et dans un terme — g-h-h 2 c 2 pLvpvrtc, au lieu de /avpTXK 
écrivant —, l’équation devient 
A, 
(fa) 4 vp + (gb) 4 + (hc) 4 - (gb) 2 (hc) 2 0 + i) 
- (hc) 2 (fa) 2 vp (w + /a) — (fa) 2 (gb) 2 (v+ p) = 0, 
ou, comme on peut l’écrire, 
[ vp ’ 1> ~(v + p)J ((fa) 2 , (gb) 2 , (hc) 2 ) 2 = 0. 
C’est la deuxième d’un système de trois équations équivalentes; savoir, en multipliant 
par — et en réduisant par Xfiv'srKp = 1, on obtient la première forme: et, en multipliant 
par Xk et réduisant de même, on obtient la troisième forme : le système est 
(>■ 
1 
vp’ 
gvr, 
— gxr (X + k), 
1 
iT 
+ 
e) 
- 
1 ((fa) 2 , (gb) 2 , 
(hc) 2 ) 2 = 0, 
( V P > 
1, 
1 
Xk’ 
- (H) • 
-vpip + Tv), 
- (p + p)^ 
1 ( „ 
„ ) 2 = o, 
(-Ï-, 
V/A-ST 
Xk, 
1 , 
— (A + k) , 
il 1\ 
— l —'— ) ’ 
— A/c(y-fp)^ 
K » » 
» ) 3 = 0. 
En écrivant hc = — fa — gb, on obtient une équation de la forme ( *) (fa, gb) 4 = 0, 
savoir une équation quartique pour avoir fa : gb, c’est-à-dire, le rapport anharmonique 
(a — d) (b — c) : (b — d) (c — a) : en considérant a, b, c comme données, il y a donc 4 
valeurs de d: et l’on a déjà vu que les valeurs a, /3. 7, S sont données rationnelle 
ment en fonctions de a, b, c, d: le théorème est donc démontré. 
Cambridge, juillet, 1880.