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SUR LA FONCTION MODULAIRE 
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Je m’arrête pour remarquer que cette expression s’accorde parfaitement avec des 
résultats trouvés par M. Dedekind (Œuvres de Riemann, Leipzig, 1876, p. 447). En 
'71% 
effet, en donnant à w la valeur eu = — + ia, a une valeur positive très petite, M. 
Dedekind trouve les valeurs de log A; et log k' ; en ajoutant ces valeurs et en ne 
faisant attention qu’aux termes qui deviennent infinis pour a = 0, on a 
log kk' = 12 log %&) = 24-4, 
m et n tous les deux impairs ; 
log kk' = 12 log x w — ~ 12-4, 
m et n l’un impair, l’autre pair. 
, et les valeurs de log^« sont ainsi 
Ici A = -, 
24 n(nw — m) 
iir 1 iir 1 
12 n(nw — m) 24 n (ruo — m) 
respectivement. 
Dans l’expression de x M > ^ convient de réunir les termes qui correspondent aux 
valeurs — m, +ra, c’est-à-dire au lieu de -y- -r, on doit écrire 
n (nay — m) 
on a ainsi finalement 
où je rappelle que m et n sont des nombres positifs relativement premiers, et que 
les signes sommatoires S x , S.,, S 3 se rapportent, S x aux valeurs impaires de m et n, 
$ 2 aux valeurs impaires de m et paires de n, S 3 aux valeurs paires de m et impaires 
de n. 
Écrivant au lieu de <w, le terme . auquel se rapportent les sommations 
co 7iù)~ — m 
se change en 2 ; on peut échanger les lettres m et n, et l’expression de 
X ^ ^ devient ainsi identiquement celle de c’est-à-dire la forme met en évidence 
la relation x ( ~ ~) = X w - 
II y a cependant, dans cette analyse et par rapport à l’échange des lettres m 
et n, une difficulté qu’il convient d’écarter. Dans la formule 
cos mir 
(m=l jusqu’à + oo et — 1 jusqu’à — oo ), 
x — mir