C. XIII. 
OTIONS. 
[896 
897] 
33 
855), pp. 285—287, [135], 
ues formules pour la trans- 
15—24, [235], see No. iv. ; 
ich connects the covariants 
i, ce — d?\x, l) 4 ; 
897. 
SUR LES RACINES D’UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE. 
[From the Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. ex. (Janvier— 
Juin, 1890), pp. 174—176, 215—218.] 
Soit f(u) une fonction rationnelle et entière avec des coefficients réels ou 
imaginaires, de l’ordre n\ en supposant que l’équation f'(u) = 0, de l’ordre n — 1, ait 
n— 1 racines, je démontre que l’équation f(u) = 0 aura n racines. Pour cela, soit 
f{u) = f(x + iy) = P + iQ: je suppose que c dénote une quantité positive donnée, et 
je considère la surface c — z = P 2 + Q 2 , en attribuant à la coordonnée z des valeurs 
positives ; c’est seulement pour avoir des maxima au lieu de minima, et pour faciliter 
ainsi l’exposition, que je prends cette surface au lieu de z = P 2 + Q 2 . On peut donner 
à c une valeur si grande que la courbe c — P 2 + Q 2 soit une courbe fermée qui ne 
se coupe pas, c’est-à-dire un contour simple : cela étant, on peut se figurer ce 
contour comme la ligne de rivage d’une île montagneuse ; la valeur de 0 est au 
plus = c, et, en donnant à z une valeur plus petite, = b, on a le contour qui 
correspond à l’altitude b : évidemment, les contours qui correspondent à des altitudes 
différentes ne se coupent pas. Il s’agit de prouver que l’île a précisément n sommets, 
chacun de l’altitude c. 
J’écris 
dP = 
dx 
donc 
dQ _ _ y _ y 
dJ~ ’ dy~ ’ 
et, de plus, 
dX_ dX_dY_ dY__ 
dx ~ a> dy dx l ’ dy a: 
dP 
dy 
dû 
= Y;