ÎBRIQUE. 
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SUR LES RACINES DUNE EQUATION ALGEBRIQUE. 
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rn., t. il, 1879, [694]), le 
oblem,” et dans une Note 
îe Newton-Fourier method 
l’une équation quadratique. 
1) 2 > 
fl et — 1, et, quoiqu’elle 
de la théorie générale, il 
rapporte à la seule racine 
donne 
,2 ’ 
y 
m négatives, et ainsi l’on 
nous avons 
), par 0 le point (0, 0) ; 
oint (x,, y,)\ écrivons aussi 
- OPx). 
AP 2 
équation AP,= 9 Qp dénote 
pie je viens de trouver. 
te de points P,, P 2 , P 3 , ...; 
:res points seront aussi sur 
B. Mais, si la coordonnée 
r e enfin infiniment près du 
point A, et l’on peut même (dans un sens qui sera expliqué plus bas, mais qui 
n’est pas le sens le plus naturel) dire que l’approximation est régulière. En effet, 
on n’a pas toujours AP,< AP, et ainsi, dans le sens le plus naturel, l’approximation 
n’est pas toujours régulière. Pour étudier cela, j’écris AP 1 = AP ; cela donne AP = 20P, 
ou, ce qui est la même chose, x 2 + y 2 + %x = ^, c’est-à-dire que le point P sera situé 
sur le cercle, centre x = — ^ et rayon =§; en ne faisant attention qu’aux valeurs 
positives de x, on a un segment compris entre l’axe des y et un arc par les points 
x — 0, y = + 
V3 7’ 
(x = 1, y = 0). Si le point P est sur l’arc, on aura AP,= AP ; si 
P est en dedans du segment, alors AP 1 > AP ; 
AP, < AP. 
si 
P est en dehors du segment, 
Mais, en supposant P en dehors du segment, et ainsi AP, < AP, il peut bien 
arriver que P, soit en dedans du segment, et, cela étant, on aura AP. 2 > AP,, et 
l’approximation ne sera pas régulière. Mais, en considérant le cercle x 2 + y 2 — §x = 
lequel est le cercle, centre A et rayon f, qui touche le segment au point (x — }, y = 0), 
alors, en supposant que le point P soit en dedans de ce cercle, on aura AP, < AP, 
le point P, sera aussi en dedans du cercle, et ainsi en dehors du segment ; et les 
points successifs P, P,, P 2 , ... approcheront continuellement du point A; l’approxi 
mation sera dans ce cas régulière. 
Il y a ainsi trois régions : le segment, le cercle x 2 + y 2 — \x — ^ et le résidu du 
demi-plan ; on pourrait les nommer régions noire, blanche et grise respectivement. 
C’est seulement pour un point P à l’intérieur de la région blanche que l’approxi 
mation est certainement régulière. 
Nous venons de considérer en effet les cercles qui ont pour centre le point 
A ; AP,<AP veut dire que le point P est situé sur un cercle plus grand, et P, 
sur un cercle plus petit ; mais, au lieu de ces cercles concentriques, considérons des 
cercles quelconques qui entourent le point A, sans se couper les uns les autres; et 
convenons de dire que c’est un bon pas quand on passe du point P sur un cercle 
plus grand à un point P, sur un cercle plus petit : avec cette convention on aura, 
en général, trois régions, lesquelles cependant ne seront pas les mêmes comme au 
paravant. En particulier, si nous considérons les cercles AP = kBP (Je une constante 
quelconque plus petite que l’unité), alors il n’y a pas de région noire, ou, si l’on veut, 
la région noire se réduit à la seule droite y = 0 ; donc il n’y a pas non plus de 
région grise, et le demi-plan entier est région blanche, c’est-à-dire, dans le sens que 
je viens d’expliquer, l’approximation est toujours régulière. En effet, c’est là la théorie 
à laquelle on est conduit au moyen de l’équation ——— = f——^ ci-dessus mentionnée. 
u, -f I \u + 1/ 
En parlant de cercles, j’ai fait une restriction qui n’est nullement nécessaire ; 
j’aurais pu parler d’ovales, de forme quelconque, qui entourent le point A sans se 
couper les uns les autres. 
J’espère appliquer cette théorie au cas d’une équation cubique, mais les calculs 
sont beaucoup plus difficiles.