§ 38. Umfang und Inhalt eines geodätischen Kreises erster Art. 
I. Wir wollen jetzt den Umfang eines geodätischen Kreises erster Art 
auf der Z-imaginären Grundschale und entsprechend den Umfang eines 
Kreises erster Art in der (x, y)-Ehene berechnen. Zu diesem Zwecke führen 
wir im (X, Y, Z)-Raum Zylinderkoordinaten cp, R, Z ein. Für einen 
Punkt P der Z-imaginären Grundschale ist der Winkel cp der Winkel des 
Meridians von P gegen den Nullmeridian, der am Mittelpunkt M ge 
messen wird. Ferner ist R = YX 2 + Y 2 der Abstand des Punktes P 
von der Z-Achse. In der (x, y)-Ebene seien cp, q = Y x 2 -f- y 2 die gewöhn 
lichen Polarkoordinaten. Entsprechend den 
Formeln (4a, b), S. 118 gilt 
da ja X 2 + Y 2 = R 2 und x 2 + y 2 — o 2 ist. 
Es sei nun ein geodätischer Kreis erster Art 
als ein Breitenkreis gegeben. In der Fig. 89 
des (X, Y, JE)-Raumes ist die Abbildung dieses 
Kreises in der senkrechten Projektion auf die (X, 1F)-Ebene durch 
die Strecke PS gegeben. Der Umfang des geodätischen Kreises auf der 
Z-imaginären Grundschale ist dann 
Wollen wir dies Resultat noch im einzelnen ab leiten, so gehen wir aus 
von der Formel für das Bogenelement 
oder, da X — R • cos cp, Y = R ■ sin cp ist [vgl. die Gleichungen (la, b, c), 
S. 139] 
da 2 = dR 2 -j- R 2 • dcp 2 + dZ 2 .