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Grundlagen einer fsogonalzentrik.
Denn da die Tangentialaxe die Polare des Schwerpols ist, so
sind P, A, Q, T 4 harmonische Punkte. Aber nach 53 ist
AQ : TQ — 4t 2 : 3ct 2 ; also auch AR : TR = 4i 2 : 3a 2 ;
deswegen für einen beliebigen Punkt 3 a 2 . AR 2 — 41 2 . IR 2
konstant, wenn P sich auf einem Kreis um R bewegt. Es ist aber
a f 4r 2 . t}
3a 2 . AP 2 — 41 2 . TP 2 = 3a 2 4i 2 . —^ ; folglich
für Kreise um R auch 3al — 4ty konstant, also
3ay — (2b 2 f 2Cy- — dy) = 4aj- — 2by — 2c^, d. h.
2a 2 j — by — cy konstant.
148. Identisch ist die Bedingung, daß 21 2 t’y — t” 2 konstant
sein soll, wie man sich leicht überzeugt, wenn man die Transversalen
in den Seiten ausdrückt.
149. Soll 2aj- — by — Cy = 0 sein, also
72 i 2 n 2
by 4~ Cy — 2(l /,
so muß der Kreis durch die beiden Aquilateralpole gehen; denn
für diese ist das Fußpunktsdreieck gleichseitig, also 2ciy = b 2 -j- c}-
Danach müßte R gleichweit von J und J x abstehen, was auch der
Fall ist, da nach 73, Anmerkung, die Tangentialaxe die Mittel
senkrechte zu der Verbindungslinie der Aquilateralpole ist.
Der Kreis um den Durchschnitt der Tangentialaxe mit einer
Schwerpolaxe durch die Aquilateralpole liefert also Fußpunkts
dreiecke, in denen das Quadrat der einen Seite das arithmetische
Mittel zu den Quadraten der beiden audern ist.
150. Es ist leicht zu sehen, daß in solchen Dreiecken die
eine Transversale gleich der Höhe des über der Grundlinie er
richteten gleichseitigen Dreiecks ist.
Wenn man also über der Grundlinie
BC (Fig. 58) das gleichseitige Dreieck
ABC konstruiert, und um die Mitte B von
BC mit DA den Kreis beschreibt, so ist
für ein Dreieck A X BC das Quadrat von
BC das arithmetische Mittel zu den Qua
draten von A X B und A X C.
151. Aufgabe. Man soll die isogonisch-zentrische Eigenschaft
TigJ8. A