Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
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Quadrat der Anzahl sämtlicher Ecken, gleich dem Quadrat des 
Radius: 
1 
Oi 
2 
«2 
d x -b d% -f- . . .) — r 1 ). 
161. Nach dem Satze von Lagrange ist: 
SA 2 -f SB 2 + SC 2 +..• = 
AB 2 + AC 2 -{-BC* + . . . 
; also 
= — |S n A x -f- S n A 2 ... S n A n |; für das Dreieck 
P s = \ (SA 2 + SB 2 + SC 2 ); für das Viereck 
P s = i (AL$ 2 -b #£ 2 + CS 2 + Z>£ 2 ). 
162. Bestimmung des Abstandes des Schwerpunkts $ vom Mittel 
punkt des einbeschriebenen Kreises. 
Es ist AM 2 = p 2 -f i 0 + c — a) 2 ; = p 2 + 
4 
1 (a — 6 + c)*; Cili 2 = p 2 + \ (a + i — cf; 
4 v ' ' ' 1 ‘ 4 
r2 . -n 71^2 . ^(71^2 o 2 
also ÆV/ 2 + -EM“ + CM 2 = 3 P 2 + | (« 2 + ¿ 2 + o 2 ) — | 
(ab -J- ac -f- bc) = 3p 2 -j— (ft -b b -(— c ) — — (ft -(— b -f- c) 
da nun S der Dreiecksschwerpunkt, so ist 
AM 2 -b BM 2 + CM 2 — SMS 2 = -i- (ft 2 -b 6 2 + c 2 ); also 
O 
jl/$ 2 = p 2 -b — O 2 + fr 2 -b c 2 ) — — (ft -b & 4- c) 2 . 
Die Potenz von S in Bezug auf den Inkreis ist demnach: 
SB = — (ft ~b b ~b c) — (ft + b A~ c )• 
Für alle Dreiecke mit gleicher Seitensumme und gleicher Schwer 
punktspotenz auf den Umkreis ist also auch die Schwerpunktspotenz 
auf den Inkreis gleich. 
Für den Mittelpunkt des anheschriehenen Kreises ist 
1) Die bekannte Relation a 2 = 3r 2 oder 9r 2 = 3a 2 am gleichseitigen 
Dreieck lautet also allgemein für ein reguläres n Eck: 
n 2 . r 2 = 2 (a 2 ) + S (d 2 ) 
(= der Summe der Quadrate sämtlicher Seiten und Diagonalen.) 
5 *