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Grundlagen einer Isogonalzentrik. 
punkte von P in Bezug auf die Seiten sind; P und P x sind zu 
sammengehörige Brennpunkte einer Ellipse, die die Dreiecksseiten 
berührt *). 
Solche Punkte sind z. B. im Dreieck 0 und PT, das Zentrum 
des Umkreises und der Höhenschnitt (Feuerbach’scher Kreis); der 
Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises entspricht hiebei sich selbst; 
die Ellipse wird zum Kreis, der die Dreiecksseiten berührt, da die 
gemeinschaftlichen Punkte mit den Seiten zu Doppelpunkten zu 
sammenfallen. 
In der Folge wird der Gegenbrennpunkt des Schwerpunkts 
genauer betrachtet werden; auch wird gezeigt werden, daß die 
Minimaldistanzpuukte und Äquilateralpole eines Dreiecks Gegen 
brennpunkte sind. 
3. Fällt man von einem beliebigen Punkt P die Senkrechten 
PX, PY, PZ auf die Seiten eines Dreiecks, so ist bekanntlich stets 
PX l) 2 + CY 2 -f AZ 2 = CX 2 + AY 2 4- PZ 2 , also 
BX 2 — CX 2 4- CY 2 - A Y 2 4- XZ 2 — PZ 2 = 0; oder 
a. (BX—CX) 4- b. (CY—AY) -f c.(AZ-BZ) = 0; also 
a. BX 4- b. CY + c. AZ = a. CX 4- b. AY-j- c. BZ. 
Bezeichnet man PX, CY, AZ; CX, 
AY, BZ der Reihe nach mit x, y, s\ 
x x , y v s x , so folgt hieraus 
ax by 4• cz — ax x -f- by x 4- C3 X = */2 
(a 2 4& 2 -f c 2 ). . 
Beschreibt man also über AP, BP, CP 
als Durchmessern Kreise und zieht von den Ecken in der einen 
oder andern Richtung Tangenten an dieselben, so ist stets: 
ATl+BTt+CTl = AT\+BT'l+CT'l = V* (a 2 + b 2 4- c 2 ), 
also gleich der Summe der Lemniskaten über den Dreiecksseiten. 
4. Fundamentalsatz. Fällt man von einem Punkt P auf die 
Schenkel eines Winkels a die Senkrechten PY und PZ, so ist die 
Verbindungslinie der Fußpunkte stets =: AP. sin a. 
l) Für die Beweise s. Steiner, Développement d’une série de théorèmes 
relatifs aux sections coniques in den Werken oder in Gcrgonne’s Annalen 
X!X, 37 — 64.